Вы - -й посетитель этой странички 

Использование электронных таблиц при исследовании физических моделей

О.В. Туркин,
Москва

    В физике существует достаточное количество процессов, которые не могут быть рассмотрены на уровне математического аппарата, используемого в школе, но тем не менее они представляют интерес для изучения и понятны для большинства школьников. В первую очередь речь идет о процессах, в которых с течением времени меняются обычно неизменные параметры.
    Примерами являются: затухающие механические и электромагнитные колебания, выравнивание температур при теплообмене, истечение жидкости при изменяющемся уровне этой жидкости и др.
    Моделируются такие явления с помощью метода, при котором изменения физических величин рассматриваются за достаточно малый промежуток времени, когда отдельные изменяющиеся параметры можно считать постоянными. При этом, используя возможности электронной таблицы (далее — ЭТ), можно шаг за шагом рассчитать все необходимые характеристики процесса.
    Такой подход предполагает следующие этапы расчета:
    1. Составление математических уравнений процесса.
    2. Определение начальных условий.
    3. Составление алгоритма и цикла расчета.
    4. Оформление расчета в таблице.
    5. Построение диаграмм.
    6. Исследование адекватности модели и границ ее применимости.
    Ниже приводятся примеры реализации предлагаемого метода.

Механические затухающие колебания (пружинный маятник)

На тело массой m действуют сила упругости F_упр. = —kx и сила сопротивления, пропорциональная скорости v движения тела F_с = —bv, где b — коэффициент сопротивления. Тогда, согласно второму закону Ньютона, ma = —kx — bv.
    За достаточно малый промежуток времени t вычисленное по этому уравнению ускорение a можно считать неизменным и определить следующие значения координаты тела x и его скорости v:
    v_нов. = v_стар. + at
   x_нов. = x_стар. + v_нов. t.
    Теперь снова можно найти ускорение, опять определить координату и скорость и т.д.
    В данном случае постоянные параметры: m — масса тела, k — коэффициент упругости, b — коэффициент сопротивления, начальные значения выбираем для x, v.

Выравнивание температур при теплообмене

    При тепловом контакте двух тел пусть тело массой m₁ и удельной теплоемкостью c₁ имеет температуру T₁ и соответственно второе тело имеет m₂, c₂, T₂ , причем T₁ > T₂ . За малый промежуток времени первое тело передаст второму в соответствии с уравнением теплопроводности количество теплоты Q

Q = k(T₁ — T₂ )t,

где k — коэффициент теплопередачи.
    В таком случае температуры тел в соответствии с уравнением Q = cm(T_нов. — T_стар. ) можно определить следующим образом:

T_1нов. = T_1стар. – Q/c₁m₁ ;
T_2нов. = T_2стар. – Q/c₂m₂ ;

    Получив новые значения температур, можно опять найти Q из уравнения теплопроводности, определить новые температуры и т.д. Постоянные параметры — m₁, m₂, c₁, c₂ — массы и теплоемкости тел, k — коэффициент теплопроводности, начальные значения выбираем для температур T₁ и T₂.

Истечение жидкости из сосуда

    Пусть в сосуде с площадью поперечного сечения S находится жидкость, высота уровня которой равна H. На дне сосуда находится отверстие с площадью поперечного сечения S₀. Скорость истечения жидкости v будет определяться высотой H и в соответствии с законом сохранения механической энергии (трением пренебрегаем) v = (2gh)0,5. За малый промежуток времени t через сечение S₀ объем V = vS₀t уровень жидкости уменьшится на величину dH = V/S.
    Тогда новая высота H_нов. = H_стар. — dH. Это позволяет найти новую скорость и т.д. Постоянные параметры — S, S₀ — площади, g = 9,81 м/с² — ускорение свободного падения. Задаем начальную высоту H.

Пример проведения урока по теме “Моделирование затухающих колебаний пружинного маятника в Microsoft Excel”

    На первом этапе объясняется суть математической модели (см. выше). Ученики 9—11-х классов хорошо знакомы с силой упругости и достаточно легко смогут принять и силу сопротивления, зависящую от скорости. Также они знакомы со вторым законом Ньютона и с формулами для определения координаты и скорости, когда промежуток времени достаточно мал. После этого определяем постоянные параметры m = 1 кг, k = 1Н/м, b = 0,03 Н•с/м, начальные значения ускорения, скорости (нулевые) и координаты (0,1 м) и задаем промежуток времени t = 0,25 c. Затем разрабатываем алгоритм расчета:
    1. Нахождение ускорения.
    2. Определение скорости.
    3. Определение координаты.
    4. Нахождение ускорения и т.д.
    После этого переходим к работе в ЭТ.
    В ячейки A1:G1 вводим имена ячеек соответственно ttt, aaa, vvv, xxx, mmm, kkk, bbb — будущие имена ячеек второй строки. Через меню ЭТ присваиваем ячейкам второй строки в диапазоне A2:G2 эти имена. Затем в эти же ячейки вводим соответствующие значения.
    В третьей строке соответственно по столбцам расставляем заголовки: t, a, v, x.
    В четвертой строке оформляем расчет для момента времени t = 0. В ячейки этой строки вводим следующие значения и формулы (напомним, что формула в Microsoft Excel начинается значком “=” ).
    A4: 0
    B4: =kkk/mmm*xxx-bbb/mmm*vvv
    C4: =vvv+B4*ttt
    D4: =xxx+C4*ttt
    В пятую строку ЭТ записываем формулы для расчета физических величин в очередной промежуток времени и копируем их вниз примерно до 105-й строки, организуя повторяющиеся, цепочные вычисления.
    На этом этапе целесообразно использовать такие возможности ЭТ, как показ зависимых и влияющих ячеек. (В меню “Сервис”|“Зависимости”.)
    После того как сформирована область вычислений (прямоугольник A4:D105), можно выделить эти ячейки вместе с заголовками третьей строки и построить точечный сглаженный график.
    Мастер диаграмм автоматически построит три графика, иллюстрирующие зависимость ускорения, скорости и координаты от времени (см. рис. 1).

Рис. 1. Построение графиков изменения ускорения, скорости и координаты

   Далее можно обсудить полученные результаты и провести несколько “экспериментов”. Например, можно из одной диаграммы получить несколько путем копирования исходной и удаления лишних рядов. Удалив ряды для a и v, можно исследовать поведение координаты в зависимости от массы тела, коэффициента жесткости и коэффициента сопротивления.
    Как известно из курса физики, период колебаний пружинного маятника T = 2pÖ(k/m). Меняя значение m или k, можно получить наглядное подтверждение такой зависимости.
    Очень интересно исследовать зависимость характера колебаний от коэффициента трения, когда они изменяются от гармонических до затухающих за один период. Меняя значение шага времени (параметр ttt), можно определить границы применимости модели и выяснить, что при достаточно большом промежутке времени модель перестает работать. Если же одну диаграмму разделить на три и положить b = 0 (гармонические колебания), то можно проследить за фазами координаты, скорости и ускорения.
    В качестве закрепления навыков работы с ЭТ можно предложить учащимся, например, продлить диапазон расчета (увеличить число строк) и соответственно увеличить область построения диаграммы.

Применение Visual Basic for Application при моделировании в ЭТ Microsoft Excel, или “Живая физика” своими руками

    ЭТ Microsoft Excel обладает рядом преимуществ, позволяющих во многих случаях обойтись без программирования при создании различных вычислительных моделей процессов и явлений, изучаемых в различных школьных дисциплинах.
    К таким преимуществам относятся, во-первых, мощный вычислительный аппарат, во-вторых, возможность построения самых разнообразных видов диаграмм и, в-третьих, возможность использования Visual Basic for Application (далее — VBA). Грамотное применение этих преимуществ позволяет достаточно быстро создавать “живые картинки”, иллюстрирующие различные процессы.
    Действительно, при использовании ЭТ нет необходимости разрабатывать интерфейс программы, организовывать вычисления с использованием сложных процедур для построения графиков и создания рисунков.
    При построении диаграмм в качестве исходных данных достаточно создать несколько расчетных рядов, основанных на уравнениях, описывающих какое-нибудь физическое явление. Затем для оживления этой диаграммы можно каким-либо образом изменять параметры, занесенные в ЭТ.
    Это легко сделать, используя VBA. В качестве иллюстрации к сказанному предлагается методика создания модели наложения двух волн и модели атома. Обе модели могут быть созданы учащимися в течение одного - двух уроков, в зависимости от уровня подготовки класса. Учащиеся должны знать вычислительные возможности ЭТ, уметь строить диаграммы и, разумеется, знать элементарные команды языка Basic или Visual Basic.

Модель волнового движения. Наложение волн

    Известно, что гармонические колебания точки описываются уравнением

y = Y₀•sin(wt) = Y₀•sin(2pt/T),

где y — координата точки,
      Y₀ — амплитуда колебаний,
      t — время,
      w — частота колебаний,
      T — период колебаний.
    Особенность волнового движения заключается в том, что вследствие упругого взаимодействия колебания соседних точек происходят по такому же закону, но с определенным запаздыванием, причем степень запаздывания зависит от расстояния x этих точек от исходной.
    Этому факту уравнение обязано дополнительным слагаемым, а именно: для каждой точки, находящейся на расстоянии x, уравнение колебаний имеет вид:

y = Y₀•sin(2pt/T - 2px/l),

где l — длина волны.
    Таким образом, для какого-либо момента времени всегда можно найти значение y для любой точки волны, находящейся на расстоянии x от источника. Пусть t имеет фиксированное значение. Тогда в ЭТ можно построить столбцы для формирования волны на диаграмме.
    Для этого:
    · в строке 1 вводим обозначения ячеек (dx — шаг расчета, ttt — текущее время, пока оно постоянно, T — период, "Длина 1", "Длина 2" — длины двух волн, одна из которых будет двигаться вправо, другая — в обратную сторону),
    · в строку 2 вводим соответствующие числовые значения, а именно: dx=0.01, ttt=0 (начальный момент времени), T=2, "Длина 1" = "Длина 2" = 0,5,
    · в строке 3 напечатаем обозначения расчетных столбцов: абсциссы точек, "1 волна", "2 волна" — ординаты первой и второй волн соответственно, "Сумма" — результат наложения двух волн,
    · в ячейке A4 ставим 0,
    · в ячейки A5:A104 вводим формулу =Верхняя ячейка + шаг (например, для A7 должно быть =A6+$A$2),
    · в четвертой строке, начиная со столбца В, вводим следующие формулы:
    столбец В:
    =10*Sin(6,28*$B$2/$C$2-6,28*A4/$D$2),
    столбец С:
    =10*SIN(6,28*$B$2/$C$2+6,28*A4/$E$2),
    столбец D:
    =СУММ(B4:C4).
    · Затем полученные формулы дублируем вниз до 104-й строки.
    Выделив диапазон A3:D104, строим диаграмму типа “Точечный сглаженный график” и получаем график трех волн, одна из которых является суммой двух других.
    Следующий этап — “оживление” графика. Для этого необходимо в ячейке В2 менять время. В этом случае будет происходить перерасчет по столбцам и соответственно меняться изображение на диаграмме. Изменение времени в определенном интервале и с фиксированным шагом будем производить с помощью VBA. Используя команду меню “Вид”|“Панели инструментов”, извлекаем панель “Элементы управления” и помещаем на лист кнопку CommandButton1. Дважды щелкнув по кнопке, попадаем в окно для написания кода процедуры
    Private Sub CommandButton1_Click()
    Здесь и пишется несложная программа на Visual Basic, смысл которой достаточно ясен. Она выглядит следующим образом:
    1. Private Sub CommandButton1_Click()
    2. For i = 1 To 100
    3. t = 0.05 * i
    4. Cells(2, 2) = t
    5. DoEvents
    6. Next i
    7. End Sub
    Нумерация строк введена нами только для обсуждения операторов.
    В четвертой строке происходит передача значения t в ячейку В2 (вторая строка, второй столбец), а в пятой строке находится команда, которая дает возможность ЭТ произвести перерасчет листа и изменить изображение на диаграмме.
    Вернувшись через панель задач в лист ЭТ, выключаем в панели элементов управления режим конструктора и щелкаем по кнопке запуска процедуры (см. рис. 2).
    Волны приходят в движение. Модель ожила.

Рис. 2. Фрагмент листа с расчетными рядами и диаграммой в момент времени ttt = 1.45

Модель атома

    При создании этой модели необходимо с помощью диаграммы изобразить орбиты электронов, ядро и электрон, движущийся по одной из орбит. Для этого лучше всего использовать точечный график.
    Сначала заполним ряды ЭТ для формирования орбит, используя область ячеек A4:I25. Известно, что изображение окружности можно получить с помощью уравнения x = Rcosf, y = Rsinf, где x и у — координаты точки, R — радиус орбиты, f — угол. Задавая значение угла от 0 до 2p с шагом p/10, вычисляем при определенном значении радиуса значения x и y. Поэтому в ячейки А4:А25 заносим значения угла f.
    Прямоугольник B4:I25 предназначен для вычисления рядов x и y для четырех орбит с радиусами 1, 4, 9, 16 (что соответствует теории атома Бора).
    Чтобы изобразить ядро, в ячейки E1 и F1 заносим нули.
    Для задания координат электрона используем ячейки A1:B1. Значения этих координат будем определять с помощью уравнения окружности, а их изменение осуществлять с помощью VBA. Таким образом, порядок заполнения таблицы следующий:
    · в ячейки E1:F1 вводим 0;
    · в ячейки A4:I4 вводим заголовки — f, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4;
    · в ячейку A5 вводим 0, а в ячейку A6 — формулу =A5+6.28/20 и дублируем эту формулу до 25-й строки;
    · в ячейки пятой строки вводим следующие формулы:
        B5:     =COS(A5)
        C5:     =SIN(A5)
        D5:     =B5*4
        E5:     =C5*4
        F5:     =B5*9
        G5:     =C5*9
        H5:     =B5*16
        I5 :     =C5*16
    · Дублируем эти формулы до 25-й строки.
    Затем, выделив диапазон ячеек B5:C25, строим точечный график для одного ряда (для одной орбиты) и, используя опции меню диаграммы, добавляем в этот график ряды для других орбит.
    Изображения ядра и электрона формируются отдельными рядами и представляют собой точки, которые можно, изменив их размеры и форму маркера, сделать похожими на сферы.
    Кроме того, необходимо изменить формат осей, убрав в опции “шкала” режим автоподбора минимума и максимума, и установить эти значения равными соответственно —16 и 16.

Рис. 3. Таблица движения электрона с соответствующей диаграммой

    Теперь надо заставить электрон двигаться по одной из орбит, например, по второй. Ей соответствует ряд (A1:B1). Используя панель элементов управления на рабочем листе, создаем элемент CommandButton1 и, дважды щелкнув по элементу, переходим в окно VBA. Процедура должна выглядеть следующим образом:

Private Sub CommandButton1_Click()
For f = 0 To 6.28 Step 0.1
Cells(1, 2) = 4 * Sin(f)
Cells(1, 1) = 4 * Cos(f)
DoEvents
Next f
End Sub

Как видим, в процедуре формируется цикл для переменной f и вычисляются координаты окружности, по которой будет двигаться электрон. Значения этих координат пересылаются в соответствующие ячейки ЭТ. В дальнейшем, используя коды VBА, можно изобразить переход электрона с орбиты на орбиту, а на другом графике показать энергетические уровни с соответствующими переходами. Возможны и другие улучшения нашей “живой модели”.