Вы - -й посетитель этой странички 

Логические выражения

П Р А К Т И К У М   П О   И Н Ф О Р М А Т И К Е

Е.В. Андреева, И.С. Гущин

Москва

Введение

В программе курса “Основы информатики и вычислительной техники” в физико-математической школе-интернате им. А.Н. Колмогорова (СУНЦ МГУим. М.В. Ломоносова) предусмотрено обучение детей одному из языков программирования высокого уровня, например, языку Паскаль. Обязательной составной частью обучения языку программирования является выполнение школьниками практических заданий. Практические задания преподаватели информатики стараются составлять так, чтобы, во-первых, при изучении тех или иных алгоритмических или языковых конструкций продемонстрировать и по возможности привить стильпрограммирования, присущий изучаемому языку (каждый язык программирования требует своего стиля ее написания эффективной и легко отлаживаемой программы), во-вторых, помочь ученику закрепить какой-либо материал, изученный на уроках математики, физики, химии и т.д., в-третьих, дать школьнику возможность потренировать свою сообразительность при решении нового для него класса задач.

Практические задания по информатике в СУНЦ  МГУ называются практикумами, если данный тип заданийобязателен для выполнения всеми учащимися, каждыйученик получает свой собственный вариант задания, и результат работы каждого учащегося будет проверен и оценен соответствующим образом. Желательным при этом является самостоятельность выполнения задания каждым из школьников. На выполнение практикума учитель отводит фиксированное время (обычно одну или две недели), и оценку “отлично” можно получитьтолько в случае выполнения задания полностью и в срок.

Методические указания

Предлагаемое в данной разработке задание условноназывается “Логические выражения. Метод координат наплоскости”. Для выполнения данного задания от школьника требуется: во-первых, знать тему “Декартовы координаты на плоскости” (например, по учебнику геометрии А.В. Погорелова для 7—11-х классов), в частности,нужно знать и понимать определение уравнения фигурына плоскости в декартовых координатах, знать вид уравнения прямой, окружности, параболы, ромба и/или других фигур в этих координатах; во-вторых, надо уметь описывать в виде неравенств геометрические места точек наплоскости, ограниченные указанными выше линиями; в-третьих, надо знать (или придумать) приемы восстановления уравнений указанных выше линий по их изображению на координатной плоскости.

Условие задания

Практикум “Логические выражения. Метод координат на плоскости”.

Варианты заданий

 Рис . 1. Рис. 2

На рис. 1—8 приведены восемь вариантов, которые соответствуют 32 различным заданиям. Из каждого рисунка можно сделать 4 различных задания, поразному обозначая направления осей OX и OY (каждый следующий вариант задания получается из предыдущего путем поворота его на 90°, например, по часовой стрелке).

Пример выполнения задания. Приведем образец для выполнения задания на примере рис. 1. На занятиях также полезно предварительно разобрать один из вариантов с той или иной степенью детализации, в зависимости от степени математической и программистской подготовки учащихся. Содержание такого занятия может выглядеть так. На данном рисунке изображено пять линий: две окружности, ромб и две параболы. Они ограничивают четыре заштрихованные части плоскости. Восстановим уравнения этих линий. В прямоугольной декартовой системе координат координаты точек (x, y), лежащих на окружности радиуса R с центром в точке (a, b), удовлетворяют уравнению: (x — a) ² + (y — b)² = R ² .Левая окружность имеет радиус 2,5. Центр ее в точке (—1, 2).

Поэтому ее описывает уравнение (x + 1) ²+ (y — 2) ² = 2,5 ² .Правая окружность имеет радиус 3. Центр ее — в точке (3, —1). Поэтому ее уравнение (x — 3) ² + (y + 1) ² = 3 ² . Точки внутри левого круга удовлетворяют неравенству: (x+ 1) ² + (y — 2) ² < 2,5 ² .Аналогично, точки внутри правого круга удовлетворяют неравенству: (x — 3) ² +(y+1)² < 3 ² . Координаты точек, лежащих на ромбе, показанном на рис. 9 (единичный ромб), удовлетворяют уравнению |x| + |y | = 1.

В этом нетрудно убедиться,раскрыв знак модуля и получив уравнения прямых для каждой из четвертей. Так, для точек первой четверти при x > 0, y > 0 имеем:   x + y   =1  — это уравнение прямой, проходящей через точки (1, 0) и (0, 1), что соответствует рисунку .

рис.9

Точки внутри рассматриваемого ромба удовлетворяют неравенству |x| + |y| < 1. В этом можно убедиться точно так же, как и выше, раскрыв модуль.При этом надо учесть, что точки, лежащие ниже прямой y = k x + b, удовлетворяют неравенству y < k x + b,которое означает, что при каждом фиксированном значении x координата   y  любой точки (x, y), лежащей ниже прямой, меньше координаты y точки, лежащей на прямой, которая равна k x + b. Соответственно точки, лежащие выше прямой y = k x + b, удовлетворяют неравенству y > k x + b. Ромб в нашей задаче отличается от рассмотренного выше тем, что он растянут в 4 раза по оси x и в 3 раза по оси y и его центр смещен в точку (—2, —2). При растяжении линии в k раз по оси x ее уравнение отличается от исходного тем, что х делится на k. Аналогично, если линия растягивается по y в k раз, то в ее уравнении y надо разделить на k. При сдвиге линии по оси x на величину c в ее уравнении вместо x надо взять x — c, аналогично при сдвиге по y на с надо в уравнении y заменить на y — c .

Поэтому для нашего ромба получаем уравнение |x + 2| / 4 + |y + 2| / 3 = 1. Для проверки можно подставить координаты вершин ромба в уравнение и убедиться, что они удовлетворяют ему. Координаты точек внутри ромба удовлетворяют неравенству |x + 2| / 4 + |y + 2| / 3 < 1.Уравнение прямой восстанавливается по координатам любых двух ее точек (для восстановления уравнения прямой по рисунку выберите две различные точки с целочисленными координатами). Например, верхняя правая граница нашего ромба является отрезком прямой, проходящей через точки (—2, 1) и (2, —2).

Общее уравнение прямой, не параллельной оси OY, имеет вид: y = kx + b.Чтобы найти коэффициенты k и b для нашей прямой, подставим в общее уравнение координаты указанных точек,получим два линейных уравнения с двумя неизвестными:1 = k(—2) + b, —2 = k•2 + b.Решив систему, получим k = —3/4, b = —1/2. Получаем уравнение прямой y = —3/4x — 1/2. Тот же метод можно применить и для нахождения уравнения параболы, но уже по трем точкам, так как общее уравнение параболы y = ax 2 + bx + c имеет три неизвестных коэффициента. Рассмотренный прием называется методом неопределенных коэффициентов. Но мы найдем уравнения парабол уже испытанным методом преобразования фигур.

Координаты точек  (x, y) , лежащих на параболе, проходящей через начало координат и точки (1, 1) и удовлетворяют уравнению y = x 2 . Вертикальная парабола на рисунке получается из рассмотренной выше сжатием по оси y в 2 раза и сдвигом по оси y на —5, поэтому ее уравнение получится из уравнения выше делением y на 1/2 и заменой y на y — (—5). В результате получаем уравнение (y + 5) / 0,5 = x 2 или y = 0,5x 2 — 5.Аналогично горизонтальная парабола получается из параболы x = y 2 сдвигом на —1 по x и на —2 по y. Ее уравнение имеет вид: x — (—1) = (y — (—2)) 2 или x = (y + 2) 2 — 1. Координаты точек внутри (над) первой параболы удовлетворяют неравенствуy > 0,5x 2 — 5. Координаты точек внутри (правее) второй параболы удовлетворяют неравенству x > (y + 2) 2 — 1.Рассмотрим теперь заштрихованные области. Область 1 представляет собой точки, находящиеся в круге 1 И   НЕ  вкруге  2, И  НЕ  внутри ромба. Область 2 представляет собой точки, находящиеся в ромбе И внутри параболы 1, И   НЕ  в круге 1,  И  НЕ внутри параболы 2. Область 3 представляет собой точки, находящиеся в параболе 1 И в параболе 2, И  НЕ  внутри ромба, И в круге 2. С 4-й, внешней, областью надо быть поосторожнее. На первый взгляд кажется, что область 4 представляет собой множество точек, находящихся НЕ внутри параболы 1 И   НЕ внутр и параболы 2 И НЕ в круге 2. Но этому же условию удовлетворяют, например, и точки слева от параболы 1,не входящие в рассматриваемую область. Поэтому для описания точек, принадлежащих 4-й области, надо добавить условие: И лежащие в первой четверти — то есть удовлетворяют системе неравенств: И лежащие в первой четверти — то есть удовлетворяют системе неравенств: x > 0 И y > 0.О подобном условии при объяснении выполнения задания школьникам можно не упоминать, предоставив им возможность догадаться о его необходимости самостоятельно.

Часто школьники формулируют подобные условия лишь после визуальной проверки их работы, в результате которой обнаруживаются “лишние” точки, то есть такие, для которых логическая функция ученика сообщает, что они принадлежат заштрихованной фигуре. “Лишние” точки могут оказаться и вне той части плоскости, которая изображена на рисунке с заданием. В этом случае при проверке их также нужно суметь продемонстрировать школьнику.Вся заштрихованная фигура F представляет собой объединение четырех рассмотренных областей: F есть объединение точек, лежащих в области 1, ИЛИ в области 2, ИЛИ в области 3, ИЛИ в области 4. При записи сформулированного логического выражения на языке программирования выделенные заглавными буквами слова И, ИЛИ,  НЕ нужно заменить на соответствующие логические операции (например, AND, OR, NOT в Паскале).Заметим, что использование логического отрицания НЕ в данном случае правомерно лишь потому, что точки на границе областей по условию задания мы не рассматриваем. Таким образом, не вполне корректное с точки зрения математики выражение позволяет более наглядно продемонстрировать смысл логических связок. Например, если точки внутри круга уже были описаны, то для описания точек, расположенных вне круга, проще использовать не отдельное неравенство, а выражение — НЕ внутри круга. Однако следует обратить внимание учащихся, что на самом деле выражение NOT (x ² + y² < R² ) соответствует(x² + y²  R²  ), а не (x² + y² > R² ).

Разобравшись с логическим выражением, можно приступить к составлению программы. Хорошим стилем программирования, не позволяющим запутаться и наделать ошибок, является следующий: для каждой необходимой для рассмотрения части плоскости надо ввести свою логическую переменную,принимающую истинное значение только для точек, принадлежащих именно этой части плоскости; этой переменной надо присвоить соответствующее арифметически-логическое выражение;· имя переменной должно быть мнемонично, то есть смысл его должен быть понятен любому человеку без перевода; окончательное логическое выражение конструируется с помощью логических операций только из таких переменных.Проиллюстрируем сказанное примером. Требуемая по условию задания функция для рассматриваемого примера может иметь следующий вид:

Function Result(x, y: real): Boolean;

Ее текст помещается в файл RESULT.PAS.Особого внимания в данной программе заслуживают присваивания логическим   переменным  логических  выражений вида: b:= x=1. Как показывает практика, такие операции непривычны даже для программировавших ранее школьников. Таким образом, еще одна задача данного практикума — научить составлению и использованию в программировании произвольных логических выражений.

Тестирующая программа

Учитель проверяет выполненное задание с помощью специальной программы, которая   высвечивает на экране точки, в которых функция учащегося дает результат TRUE. В графическом режиме компьютера просматриваются   все пиксели из прямоугольника, ограничивающего рисунок. В результате на экране получается  рисунок, который в случае правильного выполнения задания должен совпасть с рисунком, выданным в качестве задания. Несмотря на свою простоту, подобная проверка производит большой эффект на школьников, начинающих изучать программирование. Подобные визуальные средства проверки работ учащихся позволяют укрепить авторитет преподавателя, развить и закрепить интерес учащихся к предмету. Очевидно, что с помощью такой визуальной проверки невозможно определить, как именно поступает  функция   Result(x,y) с граничными точками областей. Это еще одна из причин, по которой в задании граничные точки не рассматриваются. Кроме того, в силу приближенности вычислений, выполняемых с действительными числами на компьютере, точно учесть все граничные точки заштрихованной фигуры зачастую практически невозможно. А, на наш взгляд, ставить задачу более строго, чем на практике будет проверяться ее решение, особого смысла нет. Приведем текст программы, позволяющей продемонстрировать, чему на самом деле соответствует логическое выражение, построенное и запрограммированное школьником и помещенное в файл

PROGRAM CheckTask_2;
Uses Graph;
const
  xGrMin = 120;
  xGrSize = 400;
  xGrMax = xGrMin+xGrSize;
  yGrMin = 70;
  yGrSize = 300;
  yGrMax = 370;
  xMin = -8.0;
  xMax = 8.0;
  dX = (xMax-xMin)/xGrSize;
  sX = 1.0/dX;
  yMin = -6.0;
  yMax = 6.0;
  dY = (yMax-yMin)/yGrSize;
  sY = 1.0/dY;

PROCEDURE GrInit;
  var 
    grDriver : Integer;
     grMode : Integer;
    ErrCode : Integer;
BEGIN
   grDriver := Detect;
   InitGraph(grDriver,grMode, '');
   {Предполагается, что графический драйвер egavga.bgi находится
     в текущей директории, иначе укажите путь}
    ErrCode := GraphResult;
     if ErrCode <> grOk then
        BEGIN
           writeln('Ошибка установки граф. режима:',GraphErrorMsg(ErrCode));
           Halt(1)
         END
END;