Проверка правильности сложения

В старину торговая практика требовала умения правильно выполнять вычисления с большими числами. Для уверенности в надежности вычислений употреблялись некоторые методы “поверения” (проверки). Один из методов проверки правильности сложения был таков. Допустим, что, найдя сумму нескольких чисел, мы хотим убедиться в правильности сделанных вычислений. Прибавим друг к другу все цифры слагаемых и получившееся число разделим с остатком на 9. Остаток запомним. После этого сложим цифры вычисленной суммы и результат разделим на 9. Если получившийся при этом остаток отличен от остатка, найденного ранее, то вычисления выполнены неверно — в них вкралась ошибка.

Пример. Предположим, что в результате сложения чисел 9873, 9837, 17 976 была получена сумма 38 686. Нет ли ошибки в вычислении? Сумма цифр слагаемых равна, как легко видеть, 27 + 27 + 30 = 84. Остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Складывая цифры вычисленной суммы, найдем 31. Это число при делении на 9 дает в остатке 4. Так как 3 x 4, то сумма найдена с ошибкой. И действительно, правильная сумма равна 37 686.

Указанное правило проверки объясняется довольно просто. Заметим, что разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. Это легко понять хотя бы на примере трехзначных чисел. Если abc = а x 100 + b x 10 + с — трехзначное число, то сумма его цифр равна a + b + с и разность abc – (а + b + с) = 99а + 9b делится на 9.

Пусть А, В, С, … — целые числа, которые нам необходимо сложить, и А₁, B₁, C₁, … — суммы их цифр. Обозначим буквой р остаток от деления на 9 суммы цифр числа
(А + В + С + …). Из сказанного выше следует, что разность (А + В + С + …) – р делится на 9. Но эту же разность можно представить в виде (А – А₁) + (В – B₁) + (C – C₁) + … + (А₁ + B₁ + C₁ + ... – р). Все числа А – А₁, В – B₁, C – C₁, ... делятся на 9, а потому на 9 будет делиться и число А₁ + B₁ + C₁ + ... – р. Это означает, что остаток от деления на 9 числа А₁ + B₁ + C₁ + … также равен р. Итак, если сложение выполнено правильно, то остатки должны совпадать.

Этот способ проверки в случае совпадения остатков, конечно, не дает полной уверенности в том, что сумма найдена правильно. Если, например, ошибка состояла в том, что мы случайно поменяли в сумме цифры десятков и единиц, остатки совпадут, а результат будет ошибочным. Вместе с тем указанный способ проверки иногда довольно быстро позволяет установить наличие ошибки.

Проверка правильности умножения

Так же, как в предыдущей статье проверялось сложение, можно проверять и умножение. Допустим, что, перемножив два числа, мы хотим проверить правильность вычислений. Для этого найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.

Пример. Допустим, что после умножения числа 7373 на 4521 получилось произведение 33 334 333. Сумма цифр первого сомножителя равна 20, а второго — 12. Эти числа при делении на 9 имеют остатки 2 и 3. Произведение остатков равно 6, остаток от деления 6 на 9 также равен 6. Вычислим теперь сумму цифр найденного произведения. Она равна 25. Разделив это число на 9, получим в остатке 7. Так как 6 7, то произведение вычислено с ошибкой.

Авторы старинных рукописей предлагали для удобства располагать результаты вычислений в вершинах креста (рис. 1).

Рис. 1

У концов вертикальной черты ставятся остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей. У левого конца горизонтальной черты ставится остаток от деления на 9 произведения чисел, стоящих у концов вертикальной черты, а у правого конца горизонтальной черты — остаток от деления на 9 суммы цифр вычисленного произведения. Если у горизонтальной черты стоят разные числа, то произведение найдено с ошибкой. На рис. 1 показано, как будут стоять числа в разобранном выше примере.

Конечно, совпадение чисел у концов горизонтальной черты не означает, что результат найден верно. Если, например, ошибка состояла в том, что мы случайно поменяли в произведении цифры десятков и единиц, остатки совпадут, а результат будет ошибочным.