Евклид и его "Начала"

В предыдущей статье описан алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух неотрицательных целых чисел, разработанный древнегреческим математиком Евклидом. Кто же этот ученый? К сожалению, о его жизни почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. По Проклу, “этот ученый муж” жил в эпоху царствования Птолемея I (306–283 гг. до н.э.). Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: “Евклид, сын Наукрата, известный под именем “Геометра”, ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира”. Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. “К геометрии нет царской дороги”, — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Расцвет деятельности Евклида — около 300 г. до н.э. Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд, объединенный под общим названием “Начала” (по-гречески “Elementa” — “Elementa”) — главный труд своей жизни. Сочинения под названием “Начала” появлялись еще до Евклида. Так, мы знаем о существовании “Начал” Гиппократа Хиосского (около 430–400 гг. до н.э.) и некоторых других авторов, но “Начала” Евклида превзошли сочинения его предшественников и на протяжении более двух тысячелетий оставались основным трудом по элементарной математике. В 13 частях, или книгах, “Начал” содержится бо?льшая часть знаний по геометрии и арифметике эпохи Евклида. Его личный вклад сводился к такому расположению материала, при котором каждая теорема логически следовала бы из предыдущих. Книга I начинается с определений, недоказываемых постулатов и “общих понятий”, а заканчивается теоремой Пифагора и обратной ей теоремой. Со времен античности и до XIX века неоднократно предпринимались попытки доказать так называемый “пятый постулат” (“Постулат параллельности”). Лишь в XIX веке было окончательно признано, что Евклид был прав, полагая, что этот постулат невозможно вывести из четырех других постулатов. Отрицание пятого постулата лежит в основе так называемых “неевклидовых геометрий” — эллиптической и гиперболической (в первой из них отрицается не только пятый, но и второй постулат). Книга II содержит геометрические теоремы, эквивалентные некоторым алгебраическим формулам, в том числе и построение корней квадратных уравнений. Книги III и IV посвящены окружности (при работе над ними Евклид мог воспользоваться сочинением Гиппократа). В книгах V и VI излагается теория пропорций Эвдокса и ее приложения, в книгах VII, VIII и IX — теория чисел, в т.ч. формула для “совершенных” чисел, алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя и доказательство несуществования наибольшего простого числа (см. ниже). По мнению многих, книга X — наиболее красивая часть “Начал”. Она посвящена несоизмеримым величинам (парам величин одинаковой размерности, не представимых в виде отношения целых чисел). Последние три книги “Начал” посвящены стереометрии и завершаются доказательством того, что существуют пять и только пять правильных многогранников.

Текст “Начал” сохранился в шести греческих рукописях, датируемых IX–XII вв. Имеются и арабские рукописи того же периода, но они столь же фрагментарны, как и более древние греческие рукописи. Две из ранних греческих рукописей содержат также менее крупные сочинения Евклида — “Оптику” (геометрические теоремы о прямолинейном распространении света) и “Феномены” (об астрономии и сферической геометрии). Сохранились еще два сочинения Евклида, одно на древнегреческом, другое только в арабском переводе. В первом из них (“Данные”) рассматривается вопрос о том, что необходимо знать, чтобы задать фигуру, во втором (“О делении фигур”) решается задача о разбиении данной фигуры на другие с требуемыми свойствами формы и площади.

Пять дошедших до нас сочинений Евклида составляют лишь малую часть его наследия. Названия многих его утерянных сочинений известны со слов древнегреческих комментаторов: “Псевдария” (о логических ошибках), “Поризмы” (об условиях, определяющих кривые), “Конические сечения”, “Геометрические места на поверхностях” (по-видимому, о конусах, сферах и цилиндрах или о кривых на этих поверхностях), “Начала музыки” (возможно, с изложением пифагорейской теории гармонии) и “Катоптрика” (о свойствах зеркал). Арабские авторы приписывают Евклиду и различные трактаты по механике, в том числе сочинения о весах и об определении удельного веса.

Вот такой человек жил более двух тысяч лет назад…

Литература

1. Осипенко И.Н. “Начала” Евклида. М., 1994.

2. Глебкин В.В. Наука в контексте культуры. М., 1994.

3. http://www.krugosvet.ru/articles/27/1002759/1002759a1.htm

Доказательство Евклидом несуществования наибольшего простого числа

Суть доказательства состоит в следующем. Предположим, что мы нашли самое большое простое число. Перемножим все известные простые числа и прибавим к произведению 1. Полученное число будет простым, так как при делении на любое число результат не будет целым, в остатке всегда будет 1. Это означает, что получено простое число, большее того, которое мы считали самым большим. Если применить те же рассуждения к полученному числу, можно получить еще большее новое простое число и т.д. Не правда ли — изящно?