Симфония фракталов

Кто хотя бы раз видел фракталы — удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фрактальные рисунки — вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры.

 

 До недавнего времени геометрические модели природных объектов изображались с помощью комбинаций простых фигур: прямых, треугольников, окружностей, сфер, многогранников. Так, например, икосаэдр¹ передает модель вируса, круг напоминает медузу, а поворотная симметрия описывает форму морской звезды. Правда, с помощью набора этих известных фигур трудно описать более сложные природные объекты: пористые материалы, формы облаков, кроны деревьев и т.п. Современная наука не может обойтись без новых компьютерных средств. Они выводят математику на необычайно высокий уровень. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой — так тесно они переплелись в своем стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений.

Рождение и развитие фрактальной геометрии

Понятия “фрактал” и “фрактальная геометрия” возникли в 70–80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово “фрактал” происходит от латинского fractus, что в переводе означает разбитый (поделенный на части). Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур. По определению, данному Мандельбротом, “фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому”. Свойство самоподобности отражает главную особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несет в себе полную информацию обо всем организме.

С математической точки зрения фрактал — это прежде всего множество дробной размерности. Всем, кто изучает геометрию, известно, что размерность отрезка равна 1, квадрата — 2, куба и параллелепипеда — 3. Дробная размерность — основное свойство фракталов.

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта “Фрактальная геометрия природы”. В ней использованы научные результаты ученых, работавших в период 1875–1925 гг. в той же области. Среди них Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф. Только в наше время удалось объединить эти работы в единую систему.

Фрактальная геометрия — это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: “Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не конусы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно”.

Новая фигура — фрактал — может выступать моделью сложных природных систем, таких, как кроны деревьев, горные хребты, береговые линии, поверхность Луны, и т.д. Древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы.

Если рассматривать фрактальные объекты в различном масштабе, то нетрудно обнаружить одни и те же основные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную (фрактальную) размерность необычной геометрической фигуры.

Типы фракталов и способы их построения

1. Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают такое название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых.

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (рис. 1). Алгоритм его построения достаточно прост² и основан на многократном (итерационном) расчете по формуле: Z_{i + 1} = Z_i * Z_i + C, где Z_i и C — так называемые “комплексные переменные”. Повторения выполняются для каждой точки начальной прямоугольной или квадратной области — подмножестве комплексной плоскости. В результате на плоскости образуется множество точек, которые выстраиваются в сложной закономерности.

 

Рис. 1

Однако можно заметить, что это множество образует в разных масштабах две подобные фигуры — круг и кардиоиду. Круг — знакомая фигура. Кардиоида — малоизвестная, поскольку не изучается в школе. Это так называемая “замечательная кривая”, которую можно построить как вручную — геометрически, так и с помощью компьютера. Если взять две окружности с равными радиусами и вращать одну по другой, то конец зафиксированного радиуса второй окружности опишет кривую, которая и носит название кардиоиды (рис. 2). Она получила это имя из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца (первая часть названия кривой — “кардио” происходит от греческого слова “кардиа”— сердце).

 

Рис. 2

Вернемся к фракталам, которые строятся по заранее определенным формулам. А как получается такое фантастическое многообразие цвета, которое мы наблюдаем во фракталах³? Оказывается, для этого можно разработать компьютерные программы (правда, с достаточно сложным алгоритмом). Смена алгоритма выбора цвета порождает сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью алгоритмов описывать очень сложные геометрические структуры (рис. 3).

 

Рис. 3

2. Стохастические фракталы

Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин “стохастичность” происходит от греческого слова, обозначающего “предположение”.

Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные, — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задается более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.

Рассмотрим его на примере ветки. Всего лишь несколько шагов в компьютерном алгоритме… и мы видим, как образуется ветка-фрактал (рис. 4а–в).

Рис. 4

3. Геометрические фракталы

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, ведь в них невооруженным глазом видна самоподобность.

В двумерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих эту ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал. С целью лучшего понимания этого описания рассмотрим процесс построения простейших геометрических фракталов.

Звезда⁴ Коха

Процесс построения “звезды” начинается с того, что на первом шаге стороны правильного треугольника (рис. 5а) разбиваются на три равные части и их середины заменяются на правильные треугольники, подобные исходному. В результате получается правильный звездчатый шестиугольник (“звезда Давида”) (рис. 5б). Стороны этого шестиугольника вновь разбиваются на три равные части, а потом на каждом среднем отрезке стороны строятся треугольники (рис. 5в). Стоит заметить, что количество звеньев этой ломаной на каждом шаге построения соответствует членам геометрической прогрессии со знаменателем, равным 4 : 3; 3 · 4, 3 · 4², …

Рис. 5

Повторяя этот процесс, будем получать все более сложные многоугольники (рис. 6а, б) и представляющие собой звезду Коха.

 

а)                                         б)

Рис. 6

С математической точки зрения звезда Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема (на это указывает ее “колючесть” в каждой точке). Она не имеет самопересечений.

Геометрические фракталы: список продолжается

Интересный геометрический фрактал можно построить из квадратов последовательным добавлением к исходному квадрату подобных ему фигур.

На первом шаге стороны квадрата (рис. 7а) разбиваются на три равные части и их середины заменяются на квадраты, подобные исходному (рис. 7б). Стороны получившегося многоугольника снова разбиваются на три равные части и на их серединах строятся квадраты (рис. 7в).

 

а) б) в)

Рис. 7

Повторяя этот процесс, будем получать все более сложные фигуры, приближающиеся к искомому фракталу.

В качестве исходной геометрической фигуры можно взять не только правильный треугольник или квадрат, но и правильный шестиугольник или окружность. Применив к ним описанное выше правило, получим еще более замысловатые и красивые фракталы (рис. 8а, б).

 

а)                                                      б)

Рис. 8

Окончание — в следующем выпуске.

---

1 Икосаэдр — пространственная фигура, представляющая собой многогранник с 20 гранями, каждая из которых является равносторонним треугольником. — Прим. ред.

2 Автор понимает, что читателям “В мир информатики” приведенное далее разъяснение может показаться не очень понятным, и предлагает в данном случае, как говорится, “поверить ему на слово”.

3 Цветное изображение фракталов, приведенных в начале статьи и показанных ниже на рис. 3, можно посмотреть на сайте газеты “Информатика” в разделе “Download”. — Прим. ред.

4 Используется также название “снежинка Коха”. — Прим. ред.