Еще раз о бирках и других простейших счетных приспособлениях

В прошлогодней публикации [1] рассказывалось о так называемых “числовых палках”, использовавшихся в Англии и Скандинавии. Аналогичным счетным приборам — биркам была посвящена также статья [2]. Бирки, числовые палки и другие приспособления, на которых наносились зарубки, являются первыми простейшими средствами счета, наряду со счетом с помощью узелков на веревках и использованием предметов типа камешков¹, палочек, зерен и т.п. для счета путем их перекладывания и группировки.

Истоки возникновения бирок относятся ко времени мустьерской культуры (около 50-го тысячелетия до н.э.!). Особенно интересны находки в Ла Ферраси и Ла Мустье (Франция) — трубчатые кости животных с правильно расположенными параллельными линиями [3]. Кости с насечками найдены также в Вилене (Германия) и Турске Маштале (Чехия). Наиболее тщательно изучен кусок кости из Ла Ферраси. Он почти полностью покрыт группами тонких параллельных нарезок, расположенных под разными углами друг к другу (рис. 1).

Рис. 1. Кость из Ла Ферраси

Трудно судить о назначении этих нарезок. Хотя этот обломок кости из раннего палеолита напоминает кости с нарезками, безусловно, счетного назначения, дошедшие до нас из культур позднего палеолита, утверждать то же в отношении находки из Ла Ферраси было бы слишком смело.

Подавляющее большинство исследователей полагает, что эти нарезки не связаны с каким-либо производственным назначением. По яркой характеристике А.П. Окладникова, это “первые на нашей планете орнаментальные композиции… Ясное взамен неясного и расплывчатого, порядок взамен беспорядка, логика на смену туманным ощущениям и проблескам — таков объективный смысл этого древнейшего образца орнамента” [3].

По оценке Б.А. Фролова, эту композицию можно рассматривать как математическую структуру. “Разумеется, перед нами лишь простейшее подобие “настоящих” математических структур “настоящей” математики. Разумеется, это материальное свидетельство скорее процесса формирования, чем полного осознания и сознательного использования простейшего подобия математической структуры... Но очевидно и другое. Композиция из групп параллельных линий возникла после многих сотен тысячелетий практического применения одинаковых групп ритмических ударов для получения симметричных форм орудий из камня, после многих опытов обработки кости режущими инструментами, оставляющими нарезки…” [3]. Существенный интерес в рассмотренном плане представляют также более поздние находки на известной палеолитической стоянке в Мезине (недалеко от города Новгород-Северский на Черниговщине, Украина). Возраст этой стоянки —
30–25 тыс. лет. Особенно интересен браслет из бивня мамонта, состоящий из пяти узких пластинок, орнаментированных двумя рядами наклонных штрихов (рис. 2). Ритм штрихов, их размеры и расположение на всех пяти пластинках идентичны. Это дает основание для выводов, в том числе следующего: “Число черточек, повторяющееся на каждой из пяти пластинок, заставляет думать, что они были подсчитаны, а поскольку число это сравнительно велико (4 зоны по 12–14 черточек в каждой), то можно полагать, что жители мезинской стоянки знали счет по крайней мере до 20 (число пальцев на руках и ногах)” [3].

Такими были предшественники бирок. Сами же бирки появились, по-видимому, только в позднем палеолите (40–12-е тысячелетия до н.э.) и дошли до нас, как уже отмечалось, в виде костей с насечками. Можно лишь предполагать, что по крайней мере не менее распространенными были насечки на дереве, но от того времени они не сохранились.

Начиная с верхнего палеолита бирки использовались вплоть до первых десятилетий XX в., причем в XVIII и XIX вв. они применялись сравнительно широко. К тому времени они прошли длительный путь эволюции и из инструмента, используемого только для фиксации результатов счета, превратились, в частности, в средство счета, т.е. стали простейшим вычислительным прибором, получившим название “счетная бирка”. Изменился и вид бирок: это палочки правильной, обычно прямоугольной формы, изготовленные из дерева (рис. 3).

Рис. 2. Браслеты из бивня мамонта и заготовки для них. Мезинская стоянка

Рис. 3. Связка бирок, найденных в Чувашии

Бирки использовались не только для счета. Например, на долговой бирке (а именно такие описаны в [1]) фиксировалась сумма долга, и она раскалывалась на две части: одна оставалась у кредитора, а другая — у должника. Этот древний инструмент в новое время применялся не только у отстававших в развитии народов, но и в Европе. Например, используемый в Украине и в Польше термин “карбованец” (рубль) ведет происхождение от слова карб — зарубки на палке.

Параллельно с использованием бирок в древности применялся счет с помощью узелков на веревках. Он появился позднее бирок и практически вышел из употребления задолго до того, как бирки также перестали применяться.

С узелками как носителями записи связано одно небезынтересное обстоятельство. Казалось бы, этот вид записи не позволяет фиксировать сложные последовательности чисел, в то время как бирки, по всей видимости, гораздо более приспособлены для таких целей. В действительности все сложилось по-другому. Так, в Китае и в Европе (вплоть до Средних веков) узелки использовались не только для счета, но и для фиксации других сведений. В государстве инков и других странах доколумбовой Америки с помощью узелков записывались различные исторические данные, т.е. они выполняли, хотя и на примитивном уровне, роль летописей и хроник. Свои счетные веревки, изготовленные либо из шерсти (как правило, ламы), либо из листьев, инки называли “кипу” (рис. 4).

Рис. 4. Кипу, найденный вблизи развалин храма Почакамак

Согласно гипотезе, в империи инков существовала письменность (“келька” — на языке кечуа). Однако на некотором этапе инки запретили письменность и уничтожили все ее следы, отдав предпочтение узелковой записи. Поясним, каким образом счет мог заменить письменность.

Кипу имели достаточно сложную структуру. Элементами этой структуры были: шнурок (основа кипу), нити-подвески первого уровня, которые крепились на шнуре, нити-подвески второго и третьего уровней, крепившиеся соответственно на нитях первого и второго уровней; три типа узлов (простой, “фламандский” и сложный), специальный знак, определявший содержание кипу. Кроме того, содержание кодировалось цветом нитей (до 13 цветовых оттенков). Все это позволяло в небольшом объеме записывать большие массивы цифровой информации. Испанцы, сталкивавшиеся с кипу в реальной жизни, были крайне удивлены, с какой быстротой и точностью кипукумайок (местное административное лицо, знаток кипу) прочитывал содержание кипу. Правда, это содержание было почти полностью цифровым (на этом сходятся все современные исследователи), но с помощью различных символов-определителей можно было “записывать” имена собственные и названия провинций (об этом свидетельствует испанский хронист Антонио де ла Камечи). Читали кипу специально подготовленные профессионалы (по-видимому, те же кипукумайоки).

Однако цифры могут заменить слова только в ограниченной области, тем более что узелковую запись нецифровой информации, по-видимому, не стремились развивать, полагаясь на профессиональных “запоминальщиков”. Все это не могло не нанести вред культуре инков и с этой точки зрения не сказаться на исторической судьбе инков, завоеванных испанцами. Не зафиксированные письменно история и литература инков мало известны нам.

Промежуточное положение между использованием бирок и узлов и счетом путем перекладывания предметов занимает счет с помощью четок. Первоначально он заключался в нанизывании на шнурок или палочку косточек, раковин или кусочков дерева. Значение каждой раковины или косточки могло зависеть от их цвета и порядка расположения. Если при этом нанизанные предметы могли легко и свободно перемещаться по шнуру, то мы получаем классический тип четок, которые использовались как простейший инструмент для оперативных подсчетов. Счет с помощью классических четок (перемещение в пространстве аналогов сосчитываемых объектов) приближается к счету путем перекладывания предметов.

Об использовании для счета различных предметов (камешков, раковин, зерен, палочек и т.п.) известно в основном из этнографических наблюдений. Счет с помощью предметов, как, например, специально хранимых для этой цели (раковины, зерна) и специально изготовленных (набор палочек, гальки с нанесенными на них полосами), известен у многих народов.

Исключительно важной археологической находкой, свидетельствующей о древнейшем происхождении счета с помощью перекладывания и группировки предметов, явилась находка в Мас де Азиле (Франция), относящаяся к эпохе мезолита. Эдуард Пьетт, исследовавший в конце XIX века эту находку (гальки с нанесенными на них краской пятнами и полосами), пришел к выводу, что они являются числовыми знаками, комбинации которых могут указывать на систему счисления до тысяч и даже миллиона с основанием из чисел 9 или 10.

От счета с помощью предметов всего несколько шагов до счета на абаке, хотя, для того чтобы пройти эти несколько шагов, потребовались тысячелетия развития абстрактных способностей человека, тысячелетия практики счета. Счет с помощью перекладывания и группировки предметов, характеризующийся простотой и непритязательностью, сыграл первостепенную роль в формировании первого счетного прибора — абака [4].

Применение бирок для фиксации результатов счета явилось одним из истоков возникновения письменности в ее иероглифической форме. Соотношение подсчитываемых объектов со знаками (зарубками) уже свидетельствует о достаточно развитой абстрагирующей деятельности. Вместо того чтобы каждый раз запоминать (или сообщать другим), что эта палочка с насечками (или шнур с узелками) относится к счету дней, а эта — к счету животных, можно поставить рядом знак, чем-то напоминающий объект счета.

Использование простейших приспособлений и способов счета явилось первой стадией развития и применения домеханических счетных приборов. В истории культуры эта стадия предшествовала письменности, а в истории общества — формированию классов и государства.

Достижения человека на этой стадии поистине неисчислимы. Они стали интегральными элементами нашей культуры, подобно понятию числа и десятичной системе счисления. Отголоски практики того времени дошли до нас в виде способа напоминания (“узелок на память”), поговорок (типа “заруби себе на носу”), использования пальцев для наглядной достоверности счета и т.п.

1. Древняя бухгалтерия. / “В мир информатики” № 112 (“Информатика” № 18/2008).

2. Златопольский Д.М. Простейшие счетные приборы. / Информатика, № 8/2003.

3. Апокин И.А., Майстров Л.Е. История вычислительной техники. М.: Наука, 1990.

4. Абак. / “В мир информатики” № 27 (“Информатика” № 15/2004).

¹ Заметим, что от латинского названия слова "камешек" - calculus - происходят современные термины "калькуляция" и "калькулятор".