Изучение информатики или подготовка к ЕГЭ?

Продолжение. См. № 17–24/2008; № 1–4/2009

Таблицы, табличный метод. А почему бы и нет? Работает!

Добрый день, уважаемые коллеги!

Оставим сегодня в стороне рассмотрение официальных вопросов, новостей из министерства, продолжающуюся полемику и дискуссии. Остановимся на одном из методов решения задач. И хотя он в явном виде применим только к одной из задач пакета ЕГЭ, рассмотрим его достаточно подробно. Для тех, кто следит за нашими публикациями с точки зрения наполнения своих уроков, это готовая подборка заданий.

Проведенный опрос по теме “Автоматическая обработка информации”, т.е. по алгоритмическому разделу, показал ожидаемую картину: новый материал (в данном случае — машина Поста) только-только начал усваиваться и укладываться в головах учеников. Но впереди предстоит повторное обращение к этой теме, а потому точку мы не ставили. Об алгоритмах можно и нужно говорить, обсуждая проблемы моделирования. Этот раздел как раз “на подходе”, более того, в учебнике отдельная глава посвящена технологии информационного моделирования.

Переход к новому материалу всегда заставляет приподняться над текущими проблемами и окинуть взглядом имеющиеся достижения, возможные трудности и попытаться спланировать следующие шаги. Конечно, в нашей ситуации это связано еще и с освоением нового учебника. Переход к “Информационным моделям” способствовал анализу, оценке текущей ситуации, уточнению планов до конца этого учебного года, а также обдумыванию нашей траектории в следующем, последнем для ребят школьном году.

Ясно, что переплетение изучения курса информатики и учет требований ЕГЭ — процесс сложный и многовариантный. Невозможно освоить, например, тему алгоритмизации от начального уровня до уровня третьей части заданий, части С, “за один присест”. Процесс освоения будет идти с возвратами, повторениями, переходом к другим темам и, что самое важное, с использованием уже изученного! Это как раз и является гарантией лучшего освоения материала.

И тема “Моделирование” — благодатнейшая “почва” для обращения к различным важным разделам курса. Здесь появляется возможность использования различных фрагментов уже полученных ранее знаний. То есть начинается реальный процесс обобщения в рамках учебного предмета.

Для поддержания интереса, конечно, хочется разнообразить процесс обучения. Буквально в первом же параграфе по теме “Моделирование” заинтересовали задания на работу с таблицами. Решение логических задач с помощью таблиц — хорошо известный прием, при этом сюжетная канва всегда привлекает детей и помогает быстро схватывать идею метода. И хотя эти задачи иногда относят к логическим голволомкам, используемый прием решения не стоит сбрасывать со счетов и для решения заданий ЕГЭ.

На примере задачи из учебника об Иванове, Николаеве, Петрове, Семенове, а также Иване, Николае, Петре, Семене даю объяснение построения двоичной матрицы. В этой задаче только у Николаева имя “совпадает” с фамилией. Дано еще одно условие: Семенова зовут не Петром.

Исходя из условия, сразу можно заполнить 5 ячеек:

Дальнейшие рассуждения основаны на однозначности именования: у всех героев имена разные и фамилии разные. Значит, в каждой строке и в каждом столбце может быть только одна “1”. Понятно, что таблица заполняется последовательно, но в газетном варианте множество таблиц заняло бы немало места (при том, что задача-то довольно простая!). Поэтому здесь выбрана следующая система обозначений: в нижнем индексе значения элемента в ячейке таблицы указан номер шага рассуждений, на котором эта ячейка была заполнена. (Начальные значения должны при такой схеме иметь индекс 0.)

А вот следующий пример интереснее. В Норильске, Москве, Ростове и Пятигорске живут четыре супружеских пары, причем в каждом городе — только одна пара. Имена этих супругов: Антон, Борис, Давид, Григорий, Ольга, Мария, Светлана, Екатерина. Антон живет в Норильске, Борис и Ольга — супруги, Григорий и Светлана не живут в одном городе, Мария живет в Москве, Светлана — ростовчанка. Кто на ком женат и кто где живет?

В подобных задачах — важно приобрести опыт организации таблиц, т.е. распределения исходных данных по столбцам и строкам. Решив эту задачу вместе с учениками, расставляя в ячейках признак наличия, например 1, получаем 5 заполненных ячеек:

Применяя описанную в предыдущем примере систему обозначений, получаем решение задачи в следующем виде:

Все города, кроме Пятигорска, здесь расставляются по ходу заполнения соответствующих клеточек, а Пятигорск остается последним.

На занятии, связанном с разбором этих задач, естественна связка с технологией — работой на компьютере и созданием “разобранных” таблиц. Я предложила ребятам выбрать средство по вкусу: Word, Excel, PowerPoint. И действительно, они работали в трех разных приложениях. Но самое приятное, когда видишь иной подход, самостоятельное решение. Вот как представила себе решение этой задачи одна из учениц:

А почему бы и не так? Да, наверное, избыток строк можно отнести к избытку информации, однако нестандартность подхода, попытка реализовать собственную мысль, идею — вот что ценно, вот что меня радует чрезвычайно. С одной стороны, воплощение предложенного учителем варианта надо уметь осуществить. И в принципе грамотное и четкое исполнительство — в определенных ситуациях очень важное умение. Но и другое значимо. Чувствовать, ощущать себя свободно в рамках урока, т.е. уметь предложить и сделать так, как тебе представляется естественнее и удобнее, это многого стоит.

Конечно, продолжалось обдумывание работы в направлении заданий для ЕГЭ. Логические задачи, представленные в материалах экзамена в предлагаемых вариантах решений, иногда даются в виде цепочки логических операций. Не знаю, большое ли количество учеников действительно осуществляют и умеют за короткое время получить необходимый ответ таким способом. Глядя на приводящиеся записи, выкладки логических преобразований, мне показалось это сомнительным. Есть словесные описания решений, есть решения с помощью таблиц истинности. А можно ли эти задачи решить “обычным” табличным способом, описанным выше? Такие варианты мне не встречались. Решила попробовать. Вот что получилось.

Рассмотрим несколько логических задач, обычно рассматриваемых в вариантах подготовки к ЕГЭ. Например, из сборника ФИПИ “Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся” 2008 г., а также из демонстрационных вариантов различных лет.

Задача 1. Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на синем “Рено”, Джон сказал, что нарушитель уехал на черной “Тойоте”, а Сэм показал, что машина была точно не синяя и, по всей видимости, это был “Форд”. Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля, а в другом ошибся. Какая и какого цвета была машина у нарушителя?

Решение. Поскольку каждый из свидетелей давал по два показания, то необходимо составить две таблицы: одну — основанную на верности одного показателя, вторую — на верности другого, соответственно, ложности первого. В итоге из двух таблиц выбирается одна, непротиворечивая таблица.

Допустим, Боб верно назвал цвет автомобиля. Выделим его полужирным курсивом. Тогда из утверждений Сэма истинно то, что автомобиль был марки “Форд”. Получается, что Джон не сказал ни слова правды (средний столбец содержит два ложных сообщения), что противоречит условию задачи.

Построим другую таблицу:

Ответ: у нарушителя был автомобиль марки “Рено” черного цвета.

В сборниках экзаменационных заданий решение задач подобного типа дается в виде цепочки логических преобразований (приведу вариант решения подобной задачи, но обобщенно, без деталей описания).

А, В, С, D, E — обозначения высказываний, приведенных в условии задачи. Далее записываются ответы героев в виде логических дизъюнкций, которые истинны (поскольку одно из высказываний истинно). Следовательно, истинна конъюнкция:

Далее делается вывод о том, что семь из восьми слагаемых по условию ложны, а истинно одно, которое и дает искомый ответ. Может быть, кому-то удобно писать подобную выкладку. Думаю, что приведенные выше таблицы не сложнее подобного преобразования :).

Задача 2 (из демовариантов 2005, 2006). Три школьника: Миша (М), Коля (К) и Сергей (С), — оставшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили следующее:

Миша: “Я не бил окно, и Коля тоже…”

Коля: “Миша не разбивал окно, это Сергей разбил футбольным мячом!”

Сергей: “Я не делал этого, стекло разбил Миша”.

Стало известно, что один из ребят сказал чистую правду, второй в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба факта исказил. Зная это, директор смог докопаться до истины.

Кто разбил стекло в классе?

Решение. Поскольку высказывания ребят сделаны относительно друг друга, то расположим имена школьников и в строках, и в столбцах, и внесем исходные данные (высказывания ребят расположены по горизонтали):

Предположим, что первый ответ (Миши) — истина. Тогда стекло разбил Сергей, а значит, второе высказывание (Коли) также истинно. Противоречия двух истинных высказываний, по условию, не было.

Остается проверить только третий ответ, Сергея. Если истина в том, что разбил стекло Миша, то первый ответ верен в одной своей части, а второй ответ полностью является ложью. Что согласуется с условием.

Ответ: стекло разбил Миша.

Задача 3. Задача о выяснении того, кто из трех сыновей разбил вазу. Высказывания детей о том, кто разбивал или не разбивал вазу, занесенные в таблицу, выглядят следующим образом:

Соотношение ответов по условию: один из мальчиков оба раза солгал, а двое говорили правду.

Решение. Глядя на строки таблицы, можно видеть, что если Ваня солгал, то разбил вазу Саша, но это противоречит ответу Саши (разбил Ваня). Если солгал Коля, то разбил вазу Ваня, что противоречит ответу Вани (разбил Коля). Таким образом, солгал Саша, и вазу разбил Коля. Что согласуется с ответами Вани и Коли.

Ответ: вазу разбил Коля.

Продолжим проверку применимости метода решения задач с помощью таблиц. Пример из демоварианта 2007 г.

Задача 4. В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Поступили следующие высказывания о распределении мест в дальнейших состязаниях.

а) первой будет Наташа, а Маша будет второй,

б) второе место займет Люда, а Рита будет четвертой,

в) Рита займет третье место, а Наташа будет второй.

В итоге оказалось, что во всех высказываниях правильным был только один прогноз. Перечислите числа, соответствующие местам девочек в порядке имен: Наташа, Маша, Люда, Рита.

Что же, приступаем к составлению таблицы. Задача аналогична задаче об автомобилях. Принимаем за истину высказывание о первом месте, занятом Наташей.

Результат — не противоречивый. Проверяем другой вариант:

Получили противоречие о втором месте (Наташа и Маша).

Ответ: 1423.

Надо сказать, что задаваемая система ответа зачастую приводила к ошибкам в ответах учеников. Поэтому в очередной раз есть повод поговорить о внимательном чтении условий задач!

Рассмотрим материалы для подготовки к экзамену 2008 г.

Задача 5 (тренировочный вариант 2008 г.). В олимпиаде по биологии участвовали пять девушек: Алла (А), Нина (Н), Вика (В), Рита (Р), Соня (С). Об итогах олимпиады имеется пять высказываний:

а) первое место заняла Алла, а Рита оказалась третьей;

б) пятой была Вика, а вот Нина поднялась на первое место;

в) нет, первое место заняла Соня, а вот Вика была второй;

г) Рита на последнем, пятом месте, а Нина была предпоследней;

д) да, Нина была действительно четвертой, а первой — Алла.

Если известно, что в каждом высказывании одно утверждение правильное, а другое — нет, то кто занял первое место, и на каком месте была Алла?

Решение. Понятно, что и эта задача похожа на задачу про автомобили. А поэтому заносим в таблицу исходные данные; высказывание, предполагаемое истинным, будем выделять курсивом и полужирным начертанием. Начинаем с первой строки. Пусть первой была Алла. Переходим по очереди к каждой из следующих строк ниже и отмечаем верное высказывание.

Получим противоречие в том, что первое место заняли Алла и Соня. Тогда проверим вариант: утверждение о том, что третья Рита — верно.

Получаем непротиворечивую таблицу.

Ответ: первой была Соня, Алла заняла 2-е место.

Задача 6 (демовариант 2008 г.). Перед началом “Турнира четырех” болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

а) Макс победит, Билл — второй,

б) Билл — третий, Ник — первый,

в) Макс — последний, а первый — Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место заняли Джон, Ник, Билл, Макс? В ответе перечислите подряд места участников в указанном порядке имен.

Вариант 1: “Макс — первый” — истина. Получаем противоречие: Макс на первом и на четвертом месте.

Вариант 2: “Билл — второй” — истина.

Ответ: 3124.

Разберем теперь задачу из демонстрационного варианта ЕГЭ 2009 г.

Задача 7 (демовариант 2009 г.). Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из трех учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто — нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: “Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша”. Саша сказал: “Это был мой первый прогул этого предмета”. Миша сказал: “Все, что говорит Коля, — правда”. Директор понял, кто из них кто. Определите, кто всегда правдив, кто лгун, кто говорит правду через раз.

Решение. Задача отличается от предыдущих тем, что в таблицу можно занести данные высказываний с учетом других условий задачи, т.е. однозначно зафиксировать истинность или ложность части высказываний.

Ясно, что правду говорит Саша. Но тогда очевидно, что второе высказывание Коли — ложь. Но и первое его высказывание не верно, значит, Коля — лгун. То, что сказал Миша, в данный момент оказалось ложью. Но это не противоречит тому, что он может сказать и правду.

Что же, в отличие от предыдущих лет стиль задачи несколько изменился. Опять-таки очевидна необходимость внимательнейшего прочтения условия.

Решила заглянуть в самый первый сборник заданий ЕГЭ, демонстрационный вариант 2004 г., сборник Третьего московского педагогического марафона учебных предметов, бережно хранимого мною J. Нахожу там задачу, также несколько отличающуюся от уже рассмотренных. Но почему бы еще раз не попробовать?

Задача 8. В понедельник в одном из классов должно быть проведено 4 урока — по математике, физике, информатике и биологии. Учителя высказали свои пожелания для составления расписания. Учитель математики хочет иметь первый или второй урок, учитель физики — второй или третий урок, учитель информатики — первый или четвертый, учитель биологии — третий или четвертый. Какой вариант расписания устроит всех учителей школы?

Составим таблицу по условию:

Идем испытанным путем: пусть первым уроком будет математика, тогда в первом столбце и в первой строке убираем второй “+”. Далее действуем аналогично по другим столбцам и строкам. Получаем следующий вариант:

Теперь проверим вариант, когда математика будет вторым уроком:

Второе решение также получается без “накладок”. Значит, у задачи два решения. Ну что же, ошибки в первых экзаменационных вариантах были особенно часты. Но не это главное. Главное состоит в освоении табличного метода решения задач, исходящего из табличной системы моделирования информации.

Почему же таблица помогает нам получить решение? Видимо, дело в том, что словесное описание — это текст, который сам по себе абстракция, его надо читать и в принципе декодировать для того, чтобы совершить логические действия. Таблица содержит уже преобразованную информацию, определенным образом закодированную в виде символов, и это помогает быстрее увидеть связки высказываний, а также верность или противоречивость тех или иных суждений. Понятно, что табличная форма записи упорядочивает исходные данные и делает логический анализ нагляднее.

Конечно, логические операции и преобразования еще впереди. Тема “логики” обширна. Любые логические задачи с помощью таблиц не решишь. Однако теперь можно быть уверенным, что двоичные матрицы, как способ моделирования, будет достаточно хорошо освоен ребятами. А потому будет сделан еще один существенный шаг в освоении информатики.

Продолжение следует…