Еще две замечательные кривые

В недавней публикации [1] была приведена программа, с помощью которой можно получить на экране изображение двух кривых — улитки Паскаля и кардиоиды. Существуют и другие кривые, которые называют “замечательными”. Они носят, как правило, “звучные” имена, например, “астроида”, “локон Аньези”, “окружность Аполлония”, “трактриса” и т.п.

В этой статье мы рассмотрим две замечательные кривые — эпициклоиду и гипоциклоиду. Они изображены соответственно на рис. 1 и 2.

Рис. 1                                             Рис. 2

Заметим, что это не просто красивые картинки. Оба изображения имеют “геометрический” смысл, — это линия, которую образует точка, закрепленная в плоскости некоторого круга радиуса r (производящий круг), когда круг катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса R (направляющая). На рис. 3 показана часть АМ эпициклоиды, по которой перемещается точка М производящего круга.

Рис. 3

Когда окружности касаются внешним образом, линия называется “эпициклоидой” (от греческих слов — на, над, при и — круг, окружность), когда касание внутреннее — “гипоциклоидой” (от gipo — на, над, при и ).

Обе кривые имеют также варианты в зависимости от того, где находится точка М [2]. Обозначим расстояние от этой точки до центра производящего круга — d. Если d = r (точка М расположена на окружности производящего круга), то такие эпициклоида и гипоциклоида называются “обыкновенными” (на рис. 3 как раз и показан такой вариант). Когда точка М взята внутри производящего круга (d < r) — линии называются “укороченными”, когда вне его (d < r) — “удлиненными”.

После такого теоретического введения приступим к разработке программ, с помощью которых можно получить изображения эпициклоиды и гипоциклоиды.

Как и в случае с улиткой Паскаля [1], это удобно делать с помощью параметрических уравнений кривой. Для эпициклоиды они следующие:

Напомним, что параметрическими такие уравнения называются потому, что определяют значения координат х и у каждой точки кривой в зависимости от некоторого параметра, в нашем случае от параметра j — угла наклона отрезка, соединяющего эту точку с началом координат.

Кроме того, в уравнениях есть величины R, r и d, смысл которых раскрыт выше.

Используя параметрические уравнения линии, можно получить ее изображение в программе — для этого надо рассчитать значения координат х и у для всех углов, скажем от 1 до 360 градусов через 1 градус, и поставить точку в соответствующем месте экрана. Программа на школьном алгоритмическом языке, решающая такую задачу для эпициклоиды, имеет вид:

алг Эпициклоида

нач цел x, y, угол, x0, y0,

вещ R, r, d, угол2

|Характеристики кривой

R := 100

r := 10

d := 20

|Устанавливаем графический режим

|работы экрана

видео(17)

|Координаты центра экрана

x0 := цел(максX/2); y0 := цел(максY/2)

|Для всех целых значений углов

нц для угол от 1 до 360

|Переводим угол в радианы

угол2 := 6.28 * угол/360

|Рассчитываем координаты

|соответствующей точки кривой

x := x0 + цел((R + r) *

cos(угол2) – d *

cos((R + r)/r * угол2))

y := y0 + цел((R + r) * sin(угол2) –

d * sin((R + r)/r * угол2))

|и изображаем эту точку

точка(x, y)

кц

кон

Примечания

1. В школьном алгоритмическом языке учитывается регистр символов в именах переменных величин (r и R — разные величины).

2. х0 и у0 — координаты центра экрана (с учетом этих координат рассчитываются значения х и у); значения х0 и у0 зависят от величин максХ и максУ, равных соответственно максимальному значению координат х и у в выбранном режиме работы экрана.

3. угол2 — величина угла в радианах.

4. Функция цел возвращает целую часть ее вещественного аргумента.

Для построения эпициклоид и гипоциклоид можно использовать также электронную таблицу Microsoft Excel. Верхняя часть листа, на котором можно сделать это применительно к эпициклоиде, показана на рис. 4.

Рис. 4

Задание для самостоятельной работы

1. На изучаемом вами языке программирования разработайте программу, с помощью которой можно получить изображение гипоциклоиды. Ее параметрические уравнения:

2. Оформите листы электронной таблицы Microsoft Excel для получения эпициклоид и гипоциклоид. Необходимые формулы и тип графика определите самостоятельно.

3. Установите, что определяют значения величин R, r и d на изображении наших линий.

4. Определите особенности обыкновенных, укороченных и удлиненных эпициклоид и гипоциклоид (см. выше).

Результаты, пожалуйста, присылайте в редакцию (можно выполнять не все задания). Фамилии всех приславших ответы будут опубликованы, а лучшие ответы мы поощрим.

В заключение приведем краткую историческую справку о рассмотренных замечательных кривых [2].

Чтобы объяснить попятные движения планет, древнегреческие астрономы, следуя Гиппарху (II в. до н.э.), приписывали им равномерное движение по окружности (эпицикл), центр которой равномерно движется по другой окружности (деферент). Линия, описываемая точкой при этих условиях, является эпициклоидой. Мы не знаем, однако, какие геометрические ее свойства были известны ученым древности. В середине XIII века выдающийся арабский астроном и математик Мухаммед Насирэддин ат-Туси (1201–1274) установил, что точка окружности, катящейся по неподвижной окружности, вдвое большего радиуса, касаясь ее изнутри, описывает диаметр неподвижной окружности. Это свойство независимо от Насирэддина было найдено великим польским астрономом Николаем Коперником (1473–1543); оно содержится в его знаменитом труде “Об обращениях небесных кругов”, опубликованном в 1543 г. Теорема Насирэддина – Коперника нашла широкое применение в прикладной механике.

Начало систематического изучения эпициклоид и гипоциклоид было положено в 1525 г. знаменитым немецким художником Альбрехтом Дюрером (1471–1528), широко применявшим геометрические методы в изобразительном искусстве. Однако математикам исследования Дюрера остались неизвестными.

В середине XVII века Ж.Дезарг (1593–1662), у которого глубина математических идей сочеталась с талантами конструктора, изучал свойства эпициклоид в связи с задачей создания зубчатых колес с наименьшим трением. Результаты этих, как и многих других, исследований Дезарга не были им опубликованы, но они были известны в кругу его друзей.

Ла Гир, продолживший исследования Дезарга, опубликовал в 1675 г. “Трактат об эпициклоидах и их применении в механике”. Здесь установлен ряд важных свойств эпициклоид.

Литература

1. Как выглядит кардиоида? / “В мир информатики” № 119 (“Информатика” № 1/2009).

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 2000.