Уважаемые читатели!

У газеты-вкладки “В мир информатики” появился свой электронный адрес: vmi@1september.ru.

Ответ на задачу 10-го тура конкурса № 69 для учащихся

Эта задача — одна из самых сложных в конкурсе. Напомним ее условие.

“Вы опять попали в страну, где жители говорят или только правду, или только лгут, и опять вы встретились с представителями двух семейств, отличавшихся от обычных жителей. Семейство Ли Ван говорит правду только утром и лжет вечером, а семейство Ван Ли — правду только вечером, а ложь утром.

Допустим, вы встретились с пятью представителями этих семейств (назовем их А, B, C, D и Е). На ваш вопрос: “Кто из вас кто?” — были получены следующие ответы:

A: “Моя фамилия Ван Ли или это утро”;

B: “Моя фамилия Ли Ван или это вечер”;

C: “D и E — из одного и того же семейства”;

D: “A из семейства Ли Ван”;

E: “B — Ван Ли”.

Когда могла произойти встреча? Какие семейства представляет каждый из говоривших?”

Решение

Если, как и при решении задачи 8-го тура, рассматривать все возможные сочетания принадлежности каждого из пяти встреченных в парке людей семействам Ли Ван и Ван Ли, то общее количество случаев, которые надо рассмотреть в данной задаче, составит 30 (см. табл. 1).

Примечания

 .

Рассмотрение такого количества случаев, да еще с учетом того, когда произошла встреча — утром или вечером, крайне трудоемко, но, конечно, возможно. Это количество можно значительно сократить (как будет показано ниже — в 2 раза), учитывая следующие рассуждения.

Если встреча произошла утром, когда Ван Ли лгут, то A не может быть из этого семейства, т.к. его высказывание истинно.

Аналогично, если встреча была вечером, когда неправду говорят Ли Ван, то В не может быть Ли Ван, т.к. его высказывание истинно.

Следовательно, для встречи утром все случаи, при которых A принадлежит семейству Ван Ли, можно не рассматривать, а для встречи вечером можно не рассматривать все случаи, при которых В принадлежит семейству Ли Ван.

Остальные варианты и случаи для встречи утром приведены в табл. 2 на с. 44.

Примечание. Общее число рассматриваемых случаев — 15.

Анализ высказываний людей в парке с учетом того, что встреча произошла утром, позволяет сделать следующие выводы.

1. D не может быть из семейства Ван Ли, поскольку он, как и все представители этого семейства, утром лжет, а его высказывание — истинно. Следовательно, случаи 1.1, 2.1, 2.2, 2.4, 3.1, 3.3, 3.5 и 4.2 — невозможны.

2. В и Е одновременно не могут быть из семейства Ван Ли, так как высказывание Е — утром ложное. Значит, случаи 2.3, 3.4 — невозможны.

3. С не может быть Ван Ли, когда D и Е принадлежат к одному семейству. Следовательно, случаи 3.6 и 4.4. — невозможны.

4. Когда D и Е принадлежат к разным семействам, С не может быть из семейства Ли Ван. Следовательно, случай 4.1 также невозможен.

Проверка всех высказываний для двух оставшихся случаев показывает, что оба они возможны. Итак, встреча могла произойти утром, и A, B и D из семьи Ли Ван, а C и E — Ван Ли, либо А, С, D и E — Ли Ван, а В — Ван Ли.

Аналогичный анализ для возможной встречи вечером показывает, что она могла произойти в это время, и при этом также возможны 2 варианта:

1) A, B и Е — из семейства Ван Ли, а С и D — Ли Ван;

2) А, С, D и E — Ван Ли, а В — из семейства Ли Ван.

Редакция решила за каждое правильное решение начислять участникам конкурса 0,5 балла.

Ответ на задачу 11-го тура конкурса № 69 для учащихся

Напомним условие. Три нумизмата (коллекционера монет) — Иван, Дмитрий и Алексей — приобрели 6 монет: 3 золотые и 3 серебряные. Каждому досталось по две монеты. Иван не знает, какие монеты достались Дмитрию, а какие — Алексею, но, естественно, знает, какие монеты достались ему самому. Необходимо было придумать вопрос, на который Иван ответит “Да”, “Нет” или “Не знаю” и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались. Иван — человек честный и рассуждающий всегда логично.

Решение

Вот пример такого вопроса: “Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алексея?”.

Если у Ивана две золотые монеты, он скажет “Да”, поскольку у Алексея не может быть больше одной золотой монеты.
Если обе монеты Ивана серебряные, то у Алексея — хотя бы одна золотая, и Иван ответит “Нет”.

Ну а если ему достались разные монеты, то он ответит “Не знаю”, так как у Алексея могут оказаться как две золотые, так и две серебряные монеты.

Можно задать и другие вопросы, например:

— “Правда ли, что у тебя серебряных монет больше, чем у Алексея?” (или у Дмитрия);

— “Правда ли, что одному из двух других нумизматов достались две серебряные монеты?”;

— “Правда ли, что одному из двух других нумизматов достались две золотые монеты?”;

— “Верно ли, что два других нумизмата получили хотя бы по одной золотой монете каждый?”;

— “Золотая монета дороже по достоинству. Иван, тебе выгодно поменять свои монеты с кем-нибудь из ребят?” (предложила Школьная Наталия, Республика Бурятия, Мухоршибирский р-н, село Мухоршибирь, школа № 1, учитель Алексеева Н.Ф.);

— “Если один из твоих друзей отдаст тебе одну монету, тогда у тебя золотых монет станет больше, чем у них вместе?” (предложили Голубева Катерина, Иванова Алена, Рубцов Николай и Филянина Екатерина, Томская обл., село Кожевниково, школа № 1, учитель Голубева М.Д.);

— “Есть ли у Алексея и Дмитрия (у каждого) как минимум по одной золотой монете?” (предложила Коновалова Ольга, Свердловская обл., г. Каменск-Уральский, школа № 25, учитель Дробышевская М.В.);

— “Верно ли, что хотя бы одному из двух твоих друзей достались две серебряные монеты?” (предложила Качусова Евгения, Тюменская обл., Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, школа № 46, учитель Бондур Н.Г.);

— “Стоимость твоих монет больше, чем у Алексея или у Дмитрия?” (предложили Ильин Евгений и Моронцов Леонид, основная школа села Именево, Республика Чувашия, Красноармейский р-н, село Именево, учитель Тимофеева И.А., и Назарова Юлия, Псковская обл., поселок Дедовичи, школа № 2, учитель Балясова Л.И.);

— “В твоей коллекции на одну золотую монету больше, чем у одного из двух твоих знакомых нумизматов?” (предложили Мельник Дарья и Сякаев Роман, Тюменская обл., Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, школа № 46, учитель Чурилова Т.Г.);

— “Если я заберу у тебя одну монету и дам вместо нее золотую, станет ли у тебя больше золотых?”

и т.п.

Ответ на задание 12-го тура конкурса № 69 для учащихся

Условие задания: “На острове Ложно-Правдивый живут только честные люди, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. У любого лжеца нагрузка на работе меньше, а зарплата больше, чем у любого честного человека, причем чем больше работает островитянин, тем меньше он получает (к сожалению). Известно также, что нагрузка у всех жителей разная.

Каждый островитянин однажды сделал два заявления:

1) «На острове нет и десяти человек, которые работают больше меня»;

2) «По крайней мере сто человек на острове получают зарплату большую, чем моя»”.

Необходимо было определить, сколько человек живет на этом острове.

Исходные данные задачи иллюстрирует таблица, которую оформили Иванова Алена, Рубцов Николай, Трикашная Кристина и Филянина Екатерина, Томская обл., село Кожевниково, школа № 1, учитель Голубева М.Д.:

Решение

Надо проанализировать высказывания самого работящего лжеца и честного жителя, получающего наибольшую (из честных островитян) зарплату (и одновременно работающего больше других честных жителей).

Из высказывания № 1 самого высокооплачиваемого из честных островитян очевидно, что таких жителей — не больше 10 (сам честный житель и 9 или меньше человек, которых он имел в виду). С другой стороны, если проанализировать высказывание № 1 самого работящего из лжецов, то на острове имеется минимум 10 человек, работающих больше него, и все они — честные (напомним, что он — лжец, и его высказывание — ложное). Таким образом, на острове живут 10 честных жителей (n = 10).

Из высказывания № 2 самого высокооплачиваемого из честных жителей следует, что на острове живут минимум 100 лжецов, из такого же высказывания самого низкооплачиваемого лжеца — что лжецов на острове — максимум 100. Следовательно, на острове живут 100 лжецов (m = 100).

Итак, 100 жителей острова — лжецы, и 10 — честные люди (вот такой “странный” остров — :).

Ответы на задания 10–12-го туров конкурса № 69 прислала также Глущенко Майя, г. Воронеж, лицей № 2, учитель Комбарова С.И.,

а на задания 11-го и 12-го туров:

— Ахматнабиева Лэйла, Республика Татарстан, Актанышский р-н, село Актаныш, средняя школа № 2, учитель Ахметдинова Г.Р.;

— Коршенкова Елизавета, Республика Башкортостан, г. Уфа, гимназия № 3, учитель Болдырева С.В.;

— Мадиев Ильгиз и Салимов Салим, г. Тобольск Тюменской обл., МОУ “Гимназия им. Н.Д. Лицмана”, учитель Махмутова З.К.

Прежде чем представлять общие итоги конкурса
№ 69, заметим, что оригинальное решение задачи 7-го тура предложил Кузнецов Денис, Новобурасский р-н Саратовской обл., Ириновская средняя школа, учитель Брунов А.С. Оно заключается в следующем. Одну из монет нужно отдать одному человеку, вторую монету — другому. При этом возможны 4 варианта нахождения фальшивой монеты у двух указанных людей:

Затем следует задать два вопроса одному и тому же человеку. Первый вопрос: “Настоящая монета у правдеца?”, второй — “Настоящая монета у лжеца?”. Если ответ не меняется, т.е. на оба вопроса получены одинаковые ответы (оба “Да” или оба “Нет”), то у человека, который отвечал на вопросы, нет настоящей монеты. Если ответ меняется, то у человека, который отвечал на вопросы, — настоящая монета. Денис привел обоснование предложенного решения. Аналогичное по сути решение Денис разработал и для задачи 9-го тура.

Итак — внимание!

Итоги конкурса № 69 для учащихся

Напомним, что конкурс состоял из 12 задач, за каждую из которых, за исключением задачи № 10 (см. чуть выше), начислялся 1 балл. Максимально возможный результат (13 баллов) показали и стали, так сказать, абсолютными победителями конкурса:

— Бабкина Ксения, Васьков Владимир и Калядина Дарья, средняя школа села Кипцы, Саратовская обл., Екатериновский р-н, учитель Омельченко С.Ю.;

— Бузина Кристина и Трофимова Ирина, средняя школа пос. Индустриальный, Саратовская обл., Екатериновский р-н, учитель Тимофеева М.Н.;

— Воронов Олег, Титов Кирилл и Швайка Павел,
г. Рубцовск Алтайского края, школа № 1, учитель Толмачева Н.П.;

— Зюзиков Дмитрий и Карнаухова Ксения, Смоленская обл., г. Демидов, школа № 1, учитель Кордина Н.Е.;

— Ильин Евгений и Моронцов Леонид, основная школа села Именево, Республика Чувашия, Красноармейский р-н, село Именево, учитель Тимофеева И.А.;

— Копытин Павел, средняя школа рабочего поселка Пинеровка, Саратовская обл., Балашовский р-н, учитель Пичугин В.В.;

— Кузнецов Денис, Ириновская средняя школа, Новобурасский р-н Саратовской обл., учитель Брунов А.С.;

— Пантюхина Анна и Шмуляев Андрей, г. Струнино Владимирской обл., школа № 11, учитель Волков Ю.П.;

— Саттаров Алмаз, Республика Татарстан, г. Бавлы, гимназия № 4, учитель Шафиков Н.Р.

Кроме перечисленных читателей, победителями конкурса признаны:

— Алюков Сергей, Гергерт Александр, Ерош Татьяна, Климентьев Владимир, Колосов Владимир, Кузьмин Евгений, Мельник Кристина и Митягин Александр, г. Лесосибирск Красноярского края, поселок Стрелка, школа № 8 им. Константина Филиппова, учитель Лопатин М.А.;

— Баскакова Анна, Бондур Анастасия, Ворсина Алена, Гагаричева Алена и Качусова Евгения, Тюменская обл., Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, школа № 46, учитель Бондур Н.Г.;

— Брынчик Андрей и Косяков Михаил, Амурская обл., г. Свободный, школа № 11, учитель Завьялова А.Н.;

— Веселов Сергей, Навлинская средняя школа, Орловская обл., Шаблыкинский р-н, учитель Матюхин Н.Я.;

— Воеводин Максим, Далишнева Анастасия и Доманюк Анна, село Спасское Спасского р-на Приморского края, школа № 8, учитель Мирошник Л.В.;

— Демидова Марина, г. Струнино Владимирской обл., школа № 11, учитель Волков Ю.П.;

— Евтушенко Дарья, средняя школа № 21 поселка Чульман Нерюнгринского района Республики Саха (Якутия), учитель Иванова Е.А.;

— Землянская Марина, Воронежская обл., поселок городского типа Каменка, средняя школа № 1 им. Героя Советского Союза В.П. Захарченко, учитель Старикова М.Е.;

— Иванова Алена, Рубцов Николай, Трикашная Кристина и Филянина Екатерина, Томская обл., село Кожевниково, школа № 1, учитель Голубева М.Д.;

— Идрисова Александра, Республика Татарстан,
г. Альметьевск, школа № 17, учитель Аристова Н.А.;

— Касимова Рузина, Республика Татарстан, г. Казань, школа № 22, учитель Осипова А.А.;

— Киселев Александр, деревня Сухоноска, Ковернинский р-н Нижегородской обл., МОУ “Скоробогатовская школа”, учитель Киселева В.В.;

— Киселева Анастасия, г. Ярославль, школа № 33, учитель Цикина Е.Н.;

— Коновалова Ольга, Свердловская обл., г. Каменск-Уральский, школа № 25, учитель Дробышевская М.В.;

— Мельник Дарья, Сякаев Роман, Шаферова Юлия и Юнг Егор, Тюменская обл., Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, школа № 46, учитель Чурилова Т.Г.;

— Плюснин Виктор, г. Омутнинск Кировской обл., школа № 1, учитель Пахомова И.В.;

— Школьная Наталия, Республика Бурятия, Мухоршибирский р-н, село Мухоршибирь, школа № 1, учитель Алексеева Н.Ф.

Все перечисленные читатели будут награждены дипломами.

Специальным дипломом жюри конкурса будет награждена Глущенко Майя, ученица 5-го класса лицея № 2 г. Воронежа, учитель Комбарова С.И. Поздравляем всех!