Логические задачи с решениями

Три друга

Жак, Рональд и Джордж отличаются любовью к преувеличению, но в данной ситуации точно известно, что один из них лжет, другой говорит правду, а третий… Как говорится, ни два ни полтора — может и солгать, а может и правду сказать. Известно только, что он не будет говорить про себя в третьем лице (как и никто из его друзей).

Узнайте, кто из изображенных на рисунке — Жак, Рональд и Джордж и кто из них говорит правду, а кто — лжет.

Решение

Поскольку никто из трех друзей не говорит про себя в третьем лице, то легко установить, что крайний слева на рисунке — Джордж, в центре — Жак, а крайний справа — Рональд.

Допустим, правду говорит Джордж. Тогда либо Жак и Рональд также сказали правду, либо оба солгали. Первого быть не может, т.к. тогда среди друзей не будет лжеца. Второго также не может быть, поскольку в этом случае Жак говорит о Рональде правду, что противоречит допущению. Значит, Джордж лжет.

Предположим, правду говорит Жак. Тогда высказывание Рональда о Джордже ложное, и Джордж на самом деле говорит правду. Но его слова о товарищах не могут быть правдивыми, так как Жак сказал правду, а Рональд солгал. Значит, и Жак лжет.

Остается, что правду говорит Рональд, а его товарищи лгут. Проверка показывает, что утверждения Джорджа и Жака действительно ложные, т.е. такой вариант возможен.

Итак, Джордж — лжет, Жак — тоже, а Рональд сказал правду.

Шутники и серьезные

Школьники одного из классов для игры разбились на две “партии”: на “серьезных”, отвечающих правильно на любой вопрос, и на “шутников”, дающих на любой вопрос только неправильные ответы. Решите, пожалуйста, несколько задач, связанных с учениками этого класса.

Задача № 1

Однажды учитель спросил каждого из пяти учеников этого класса: “Сколько среди вас «серьезных»?” — и получил следующие ответы: “Ни одного”, “Один”, “Два”, “Три”, “Четыре”. Сколько же ребят из “партии «серьезных»” было в этой группе?

Решение

Ученик, давший ответы: “Ни одного”, — “шутник”, так как “серьезный” обязательно назвал бы число, равное или больше 1. Так что ему верить нельзя, и в группе должен быть обязательно по крайней мере один “серьезный”.

Предположим, что ученик, назвавший число 1, — тоже лжец. Тогда в ответах его товарищей должно было появиться два раза число 2 (если “серьезный” — два) или три раза число 3 (если их — три). Но этого не произошло. Следовательно, среди ребят — один “серьезный”, а именно тот, который назвал число 1.

Задача № 2

Учитель спросил у каждого из трех учеников А, Б и В, сколько “серьезных” среди них. Они назвали соответственно числа k, m и n. Определите, возможны ли каждый из приведенных в таблице вариант, и, если возможны, какую “партию” представляет каждый из учеников в этом случае.

Ответы приведены в таблице. Заметим, что в своих ответах учителю никто из “серьезных” учеников не мог назвать число 0, т.е. назвавший это число — “шутник”.

 

№ варианта	k	m	n	Возможен ли вариант	Комментарий
1	0	0	0	Невозможен	Если все три ученика — “шутники”, то никто из них не назовет число 0. Если же среди них есть “серьезные”, то должны быть и ненулевые ответы.
2	0	0	1	Возможен	В — “серьезный”, А и Б — “шутники”.
3	0	0	2	Невозможен	Если В — “серьезный”, то его правдивый ответ должен подтвердить еще кто-то из учеников. Если же и В — “шутник” (число “серьезных” равно нулю), то в ответах не должно быть нулей.
4	0	0	3	Невозможен	См. предыдущий комментарий.
5	0	1	1	Невозможен	Все три ученика “шутниками” быть не могут. Если “серьезный” — Б или В, то второй из этой пары не может подтвердить этого (ответить: “Один”). Если “серьезные” — Б и В, то их ответы были бы другими.
6	0	1	2	Возможен	Б — “серьезный”, А и В — “шутники”.
7	0	1	3	Возможен	То же.
8	0	2	2	Возможен	Б и В — “серьезные”, А — “шутник”.
9	0	2	3	Невозможен	Никто из пары Б и В не может быть “серьезным”, а все трое “шутниками” также быть не могут (есть нулевой ответ).
10	0	3	3	Невозможен	См. предыдущий комментарий.
11	1	1	1	Возможен	Все три ученика — “шутники” (никто из них не может быть “серьезным”, так это подтвердили его товарищи-“шутники”, чего быть не может).
12	1	1	2	Возможен	См. предыдущий комментарий.
13	1	1	3	Возможен	То же.
14	1	2	2	Возможен	Б и В — “серьезные”, А — “шутник”.
15	1	2	3	Возможен	А — “серьезный”, Б и В — “шутники”.
16	1	3	3	Возможен	То же.
17	2	2	2	Возможен	Все три ученика “шутники”.
18	2	2	3	Возможен	А и Б — “серьезные”, В — “шутник”.
19	2	3	3	Возможен	Все три ученика “шутники”.
20	3	3	3	Возможен	Все три ученика — “серьезные” или все три — “шутники”.

Задача № 3

Учитель, проходя мимо учеников Андриенко, Боева и Викулова, спросил “Кто вы?”, на что Андриенко и Боев ответили соответственно “Мы все «шутники»” и “Ровно один из нас «шутник»”. Можно ли определить, к какой “партии” относится каждый из трех учеников?

Решение

Андриенко не может быть “серьезным”, т.к. в этом случае его правдивый ответ не противоречил бы самому себе (“серьезный” Андриенко говорит, что он тоже “шутник”). Значит, он — “шутник”, и по крайней мере один из остальных ребят — “серьезный” (все трое ребят не могут быть “шутниками”, т.к. в этом случае ответ Андриенко соответствовал бы истине, но он ведь тоже “шутник”, чего быть не может). Оставшиеся варианты приведены в таблице:

Первый вариант невозможен, т.к. при нем “серьезный” Боев называет неправильное число “шутников”. Остальные варианты возможны, т.е. можно утверждать, что Викулов — “серьезный”, а о том, к какой “партии” относится Боев, определенно сказать нельзя.

Задача № 4

Учитель спросил у Пети Иванова, “серьезный” ли он человек или “шутник”. Не расслышав ответа Иванова, он спросил у Сидора Петрова и Ивана Сидорова (сидевших рядом с Ивановым и все слышавших): “Что ответил мне Петя Иванов?”. Сидор сказал: “Петя ответил, что он серьезный человек”. Иван же сказал: “Иванов ответил, что он шутник”. Кем были Петров и Сидоров?

Решение

Прежде всего можно установить, что так как Петров и Сидоров на заданный вопрос ответили по-разному, то они относятся к разным “партиям” (один — “шутников”, другой — “серьезных”).

Рассмотрим возможные ответы Иванова. Если он — “серьезный”, то на вопрос учителя он так и ответит (что он “серьезный”). Если же он “шутник” — то тогда он ответит, что он якобы “серьезный”. Получается, что в любом случае Иванов должен ответить: “Я — «серьезный человек»”.

Так как Петров сказал учителю то же, что ответил Иванов, то он относится к “партии серьезных”. Тогда Сидоров — “шутник”.

Задача № 5

Гусев, Уткин и Курочкин разговаривали между собой. Проходивший мимо учитель спросил у Димы Гусева: “Дима, ты к какой «партии» относишься?” Тот ответил, но так неразборчиво, что учитель не смог ничего понять. Тогда учитель спросил у Уткина: “Что сказал Гусев?” “Гусев сказал, что он «шутник»”, — ответил Уткин. “Не верьте Уткину! Он говорит неправду!” — вмешался в разговор Курочкин. К какой “партии” относятся Уткин и Курочкин?

Решение

Задача аналогична предыдущей. Никто из учеников этого класса не может сказать: “Я — «шутник»” (сказав это, “серьезный” солгал бы, а “шутник” — сказал бы правду). Следовательно, Гусев, кем бы он ни был, не мог сказать о себе, что он “шутник”. Поэтому Уткин, утверждая, будто Гусев назвал себя “шутником”, заведомо лгал. Значит, Уткин — “шутник”. А так как Курочкин сказал, что Уткин лгал, когда тот действительно лгал, то Курочкин сказал правду. Следовательно, он — “серьезный”. Таким образом, Уткин — “шутник”, а Курочкин — “серьезный”.

Дополнительный вопрос: “А можно ли определить, кем является Гусев?”

Решение

Допустим, Гусев — “серьезный”. Тогда он на вопрос учителя ответил бы о себе правдиво. “Шутник” Уткин этого не подтвердил бы, а “серьезный” Курочкин опроверг бы Уткина.

Допустим, Гусев — “шутник”. Тогда он сказал бы учителю, что он — “серьезный”. И в этом случае “шутник” Уткин этого не подтвердил бы, а “серьезный” Курочкин также опроверг бы Уткина.

Итак, установить, к какой “партии” относится Гусев, не представляется возможным.

Задача № 6

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого: “Сколько «серьезных» среди вас?”, на который тот ответил неразборчиво. Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: “Что сказал Волков?” Зайцев ответил: “Он сказал, что среди нас один «серьезный»”. И тогда Белкин закричал: “Не верьте Зайцеву! Он говорит неправду!” К какой “партии” относятся Зайцев и Белкин?

Решение

Прежде всего заметим, что, как показано при решении задач № 4 и 5, Зайцев и Белкин не могут относиться к одной “партии”, следовательно, один из них “серьезный”, а другой — “шутник”.

Определим, мог ли Волков на вопрос учителя ответить: “Среди нас один «серьезный»”.

Если бы Волков был “серьезным”, то всего среди ребят было бы два “члена этой партии”. Волков не солгал бы и сказал, что среди троих ребят “серьезных” — два.

С другой стороны, если бы Волков был лжецом, то утверждение “Среди нас один «серьезный»” было бы истинным. Но тогда Волков, будучи лжецом, не мог бы высказать это истинное утверждение.

Следовательно, на вопрос учителя Волков не мог ответить: “Среди нас один «серьезный»”. Из этого следует, что Зайцев неверно передал высказывание Волкова, из чего мы заключаем, что он — из “партии шутников”, а Белкин — “серьезный”.

Дополнительный вопрос: “А можно ли определить, кем является Волков?”

Решение

Допустим, Волков — “серьезный”. Тогда он на воп­рос учителя ответил бы, что среди них — два “члена этой партии”. “Шутник” Зайцев этого не подтвердил бы, а “серьезный” Белкин — опроверг Зайцева.

Допустим, Волков — “шутник”. Тогда он сказал что угодно, кроме ответа: “Среди нас один «серьезный»”. “Шутник” Зайцев сказал бы именно это (неправду), а Белкин — также опроверг бы товарища.

Следовательно, определить, из какой партии Волков, не представляется возможным.

Задача № 7

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого: “Сколько «серьезных» среди вас?”, на который тот ответил неразборчиво. Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: “Что сказал Волков?” Зайцев ответил: “Он сказал, что среди нас два «серьезных»”. Белкин подтвердил сказанное товарищем. К какой “партии” относятся Зайцев и Белкин?

Решение

Прежде всего заметим, что здесь в отличие от преды­дущих задач Зайцев и Белкин относятся к одной “партии”, т.е. они оба либо “серьезные”, либо “шутники”.

Рассмотрим возможные варианты.

Из партии “серьезные” все ребята быть не могут (в этом случае ответы были бы другими).

Допустим, Волков — “серьезный”, а его товарищи — “шутники”. В этом случае Волков ответил бы, что “серьезный” только он один, а Зайцев и Белкин, будучи “шутниками”, могли сказать то, о чем идет речь в условии. То есть такой вариант возможен.

Допустим, “серьезными” являются только Зайцев и Белкин. В этом случае Волков, будучи “шутником”, не мог ответить, что “серьезными” действительно являются два его товарища. Следовательно, такой невозможен (получается противоречие со сказанным Зайцевым и Белкиным).

Оставшийся вариант (все ребята — “шутники”) можно не рассматривать, так как даже если он не возможен, то ответом на вопрос в условии задачи является следующий: “Зайцев и Белкин относятся к «партии шутников»”. Определить, из какой партии Волков, не представляется возможным (убедитесь в этом, исследовав оставшийся вариант).

Задача № 8

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого: “Сколько «серьезных» среди вас?”, на который он ответил неразборчиво. Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: “Что сказал Волков?” Зайцев ответил: “Он сказал, что среди нас один «серьезный»”. Белкин подтвердил сказанное товарищем. Можно ли определить, к какой “партии” относится каждый из ребят?

Решение

Здесь также Зайцев и Белкин являются членами одной “партии”.

Рассмотрим возможные варианты.

Из партии “серьезные” все ребята быть не могут (в этом случае ответы были бы другими).

Допустим, Волков — “серьезный”, а его товарищи — “шутники”. В этом случае Волков ответил бы, что “серьезный” только он один, но Зайцев и Белкин, будучи “шутниками”, не подтвердили бы этого. Значит, этот вариант невозможен.

Допустим, “серьезными” являются только Зайцев и Белкин. В этом случае их правдивый ответ о сказанном Волковым вполне может соответствовать тому, что сказал “шутник” Волков.

Оставшийся вариант: все ребята — “шутники”. При нем Волков мог сказать, что число “серьезных” среди них — два или три¹, а его “коллеги по партии” изменили бы ответ Волкова на приведенный в условии. То есть и такой вариант возможен.

Итак, точно можно сказать, что Волков — “шутник”, а принадлежность остальных двух ребят к той или иной партии установить невозможно.

Задача № 9

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого: “Сколько «серьезных» среди вас?”, на который тот ответил неразборчиво. Поэтому учителю пришлось спросить у Зайцева: “Что сказал Волков?” Зайцев ответил: “Он сказал, что среди нас два «серьезных»”. И тогда Белкин закричал: “Не верьте Зайцеву! Он говорит неправду!” Можно ли определить, к какой “партии” относится каждый из ребят?

Решение

Рассмотрим возможные варианты.

Допустим, Волков — “серьезный”. Тогда его правдивый ответ — “Среди нас два «серьезных»”. По условию это подтвердил Зайцев (значит, он при этом тоже “серьезный”) и не подтвердил Белкин (значит, он — “шутник”). В целом этот вариант возможен.

Допустим, Волков — “шутник”, т.е. “серьезный” среди ребят только кто-то один. Вариантов возможного ответа Волкова — несколько. Он мог ответить:

1) что “серьезных” среди них — два; это подтвердил Зайцев (значит, он при этом тоже “серьезный”) и не подтвердил Белкин (значит, он — “шутник”);

2) что “серьезных” среди них — три или ни одного; Зайцев этого не подтвердил (значит, он при этом тоже “шутник”), а Белкин, опровергнувший Зайцева, — “серьезный”.

Итак, установить принадлежность каждого из ребят к той или иной “партии” невозможно.

Задача № 10

Ученик Карасев высказал следующее утверждение о себе и своем однокласснике Сомове: “По крайней мере один из нас «шутник»”. К какой “партии” относится Карасев и к какой — Сомов?

Решение

Предположим, что Карасев — “шутник”. Если бы это было так, то его утверждение “По крайней мере один из нас «шутник»” было бы ложным (так как “шутники” всегда высказывают ложные утверждения). Следовательно, в этом случае и Карасев, и Сомов были бы из “партии серьезных”. Таким образом, получается, что если бы Карасев был “шутником”, то он не был бы им, что невозможно. Отсюда мы заключаем, что Карасев не “шутник”, он — “серьезный”. Но тогда высказанное Карасевым утверждение должно быть истинным. Поэтому по крайней мере один из ребят в действительности “шутник”. Так как Карасев — “серьезный”, то “шутником” является Сомов.

Итак, Карасев — “серьезный”, а Сомов — из “партии шутников”.

Задача № 11

Ученики Аникин и Бек сказали следующее:

— Аникин: “Бек — «шутник»”;

— Бек: “Аникин и Соколов — из одной «партии»”.

Можно ли установить, к какой “партии” относится Соколов?

Решение

Допустим, Аникин — “шутник”. Тогда его высказывание о Беке ложно, и “серьезный” Бек сказал правду, т.е. Соколов, как и Аникин, — “шутник”.

Если же Аникин — “серьезный”, то “шутник” Бек сказал неправду — на самом деле Аникин и Соколов относятся к разным “партиям”, т.е. и в этом случае Соколов — “шутник”.

Итак, в любом случае Соколов относится к “шутникам”.

Задача № 12

Ученик Азизов сказал: “Или я — «шутник», или Волков — «серьезный»”. К какой “партии” относится каждый из двух учеников?

Решение

Азизов высказал сложное утверждение с дизъюнкцией, первая часть которого — ложная, т.к. ни один из учеников класса не может сказать о себе, что он — “шутник” (см. решение задач 1–6). Значит, это утверждение:

— будет истинным (т.е. Азизов — “серьезный”), только если его вторая часть будет истинной (Волков — “серьезный”);

— будет ложным (т.е. Азизов — “шутник”), если его вторая часть будет ложной (Волков — не относится к “серьезным”).

Итак, “партийность” Азизова зависит от того, к какой “партии” относится Волков.

Начнем со второго варианта. Если Волков — “шутник”, то и Азизов — “шутник”. Но тогда высказывание последнего является ложным. Применив закон де Моргана к этому высказыванию, можем сказать, что Азизов — “серьезный”, а Волков — “шутник”, но это дает противоречие с анализируемым вариантом.

Первый вариант возможен, а значит, оба ученика относятся к “серьезным”.

Задача № 13

Три ученика — Агеев, Василенко и Симонян — разговаривали с учителем. Двое из них высказывают следующие утверждения:

1) Агеев: “Мы все из партии «шутников»”;

2) Василенко: “Один из нас «серьезный»”.

К какой “партии” относится каждый из трех учеников?

Решение

Прежде всего заметим, что Агеев должен быть из “партии шутников”. Действительно, если бы он был “серьезным”, то из его высказывания следовало бы, что все трое “шутники”. Но тогда Агеев (по предположению, “серьезный”) оказался бы “шутником”, что невозможно. Следовательно, Агеев — “шутник”. Но тогда его высказывание ложно и по крайней мере один из трех учащихся — “серьезный”.

Предположим теперь, что Василенко — “шутник”. Тогда Агеев и Василенко — оба из “партии шутников”, поэтому Симонян должен быть “серьезным” (так как по крайней мере один из трех ребят — “серьезный”). Это означает, что ровно один из трех учеников “серьезный”, и, следовательно, высказывание Василенко истинно, но это невозможно, так как он — “шутник”, а любое высказывание “шутника” не истинно. Отсюда мы заключаем, что наше предположение неверное, и Василенко должен быть “серьезным”.

Итак, мы установили, что Агеев — “шутник”, а Василенко — “серьезный”. Так как утверждение последнего (“Один из нас «серьезный»”) истинно, то ровно один из трех ребят “серьезный”. Им является Василенко, следовательно, Симонян должен быть “шутником”.

Общий ответ: Агеев и Симонян — из “партии «шутников»”, Василенко — “серьезный”.

Задача № 14

Предположим, что ученик Акимов высказывает утверждение: “Я — «шутник», а мой одноклассник Басилашвили — не «шутник»”. К каким “партиям” в этом случае относятся Акимов и Басилашвили?

Решение

Прежде всего заметим, что утверждение Акимова, в котором имеется союз “а”, является сложным высказыванием с логической операцией конъюнкцией.

Проверим, может ли Акимов быть “серьезным”. Если бы это было так, то его высказывание было бы истинным, а в нем утверждается, что Акимов — “шутник”. Следовательно, Акимов — из “партии шутников”, и все его высказывание ложно.

Далее, если бы Басилашвили был “серьезным”, то все сложное высказывание “шутника” Акимова было бы истинным (истина и истина = истина), чего быть не может. Следовательно, Басилашвили также “шутник” (в этом случае результат проверки высказывания Акимова: истина и ложь = ложь).

Задача № 15

Ученик Аскеров высказывает утверждение: “Басилашвили и Сидоренко — из одной «партии»”. Учитель спрашивает у Сидоренко: “Аскеров и Басилашвили из одной «партии»?” Что ответит Сидоренко?

Решение

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть отдельно два случая.

Первый случай: Аскеров — “серьезный”. Тогда Басилашвили и Сидоренко — из одной “партии”.

Если Сидоренко — “серьезный”, то и Басила­швили — “серьезный” и, следовательно, однотипен с Аскеровым. Поэтому Сидоренко, будучи правдивым, должен был на вопрос учителя ответить: “Да”.

Если же Сидоренко — “шутник”, то и Басилашвили — “шутник” и, следовательно, принадлежит к другой “партии”, чем Аскеров. Поэтому Сидоренко, будучи “шутником”, должен сказать неправду и ответить учителю: “Да”.

Второй случай: Аскеров — “шутник”. Тогда Басила­швили и Сидоренко — из разных «партий».

Если Сидоренко — “серьезный”, то Басилашвили — “шутник” и, следовательно, из одной «партии» с Аскеровым. Поэтому Сидоренко, будучи “серьезным”, должен ответить: “Да”.

Если же Сидоренко — “шутник”, то Басилашвили — “серьезный” и принадлежит к иной “партии”, чем Аскеров. Но тогда Сидоренко, будучи “шутником”, на вопрос учителя ответит неправду: “Да”.

Таким образом, в любом случая ответит “Да”.

Задача № 16

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого: “Сколько «серьезных» среди вас?”, на который тот ответил неразборчиво. Поэтому учителю пришлось спросить у двух других ребят: “Что сказал Волков?” Зайцев ответил: “Он сказал, что «серьезных» среди нас нет”, а Белкин: “Он сказал, что «серьезный» среди нас один”. Можно ли по этим ответам определить, к какой “партии” относится каждый из ребят?

Решение

Рассмотрим возможные варианты принадлежности каждого из ребят к той или иной “партии”. Сразу же можно отбросить варианты, при которых и Зайцев, и Белкин — “серьезные” (поскольку на один и тот же вопрос они ответили по-разному). Оставшихся вариантов — шесть.

1. Все трое — из “партии «шутников»”. В этом случае Волков на вопрос учителя мог ответить “Два” или “Три” (правильный ответ “Ни одного” он, будучи “шутником”, сказать не мог, а ответ “Один” он не мог сказать, так как это подтвердил бы “шутник” Белкин, чего быть не может). При таких ответах Волкова приведенные в условии ответы “шутников” Зайцева и Белкина возможны, т.е. в целом такой вариант также возможен.

2. Волков и Зайцев — “шутники”, Белкин — “серьезный”. В этом случае Белкин правдиво повторил бы ответ Волкова — “Один”, но этого быть не может, т.к. это правильный ответ, и “шутник” Волков не мог сказать так. Значит, этот вариант невозможен.

3. Волков и Белкин — “шутники”, Зайцев — “серьезный”. В этом случае Зайцев правдиво повторил бы ответ Волкова — “Ни одного”, а “шутник” Белкин это не подтвердил. Итак, такой вариант возможен.

4. Волков — “серьезный”, а его товарищи — “шутники”. В этом случае Волков ответил бы правильно: “Один”, но этого “шутник” Белкин не мог подтвердить (как это указано в условии). Значит, такой вариант невозможен.

5. “Серьезными” являются Волков и Белкин, а Зайцев — “шутник”. Но такой вариант невозможен, так как при нем Волков должен был ответить учителю правильно: “Два”, — а Белкин этого не подтвердил, хотя должен был это сделать, будучи “серьезным”.

Также невозможным является еще один вариант: Волков и Зайцев — “серьезные”, Белкин — “шутник” (причина аналогична предыдущему варианту — “серьезный” Зайцев не подтвердил правдивый ответ Волкова).

Итак, возможными являются варианты 1 и 3, в которых Волков и Белкин — “шутники”. К какой “партии” принадлежит Зайцев, установить нельзя.

Другие варианты задачи

Учитель, проходя мимо Волкова, Зайцева и Белкина, спросил первого: “Сколько «серьезных» среди вас?”, на который тот ответил неразборчиво. Поэтому учителю пришлось спросить у двух других ребят: “Что сказал Волков?” Варианты ответов Зайцева и Белкина приведены в таблице:

Ответы

1. Установить принадлежность кого-нибудь к той или иной “партии” нельзя.

2. То же.

3. Зайцев — “шутник”, “партийность” остальных установить невозможно.

4. Волков и Зайцев — “шутники”, из какой “партии” Белкин — определить нельзя.

5. Белкин — “шутник”, “партийность” остальных установить невозможно.

Задача № 17

Учитель встретил двух учащихся “особенного” класса и спросил одного из них: “Кто-нибудь из вас — «серьезный»?” Его вопрос не остался без ответа, и учитель узнал то, что хотел, — кем был ученик, к которому он обратился, и к какой «партии» относился другой ученик. А сможете ли узнать это вы, уважаемый читатель?

Решение

Ключевым моментом решения является приведенный в условии факт, что после ответа учитель узнал то, что хотел.

Предположим, что ученик, к которому обратился учитель (обозначим его А), ответил на его вопрос “Да”. В каких случаях это могло быть? Ответ — в двух:

1) когда А — “серьезный” и правдиво ответил: “Да” (его ответ соответствовал бы истине, поскольку по крайней мере один из двух учеников, а именно А, — “серьезный”);

2) когда оба ученика — “шутники”. В этом случае А, сказав неправду, ответил бы на вопрос “Да” (что было бы ложью, так как ни один из учеников не был “серьезным”).

Понятно, что при сделанном предположении узнать “кто есть кто” учитель не мог (а ведь он, по условию, сделал это). Следовательно, А мог ответить только “Нет”. Разберемся теперь, кто из учеников относится к какой “партии” в этом случае.

Если бы А был “серьезным”, то он не мог бы дать правдивый ответ “Нет”, поэтому А — “шутник”. Так как его отрицательный ответ ложен, то по крайней мере один из двух учеников должен быть “серьезным”. Значит, второй ученик — “серьезный”.

Честные, лжецы и “хитрецы”²

1. “Правдивая ложь”

В некоторой стране есть два города — Правдинск и Кривдинск. В первом из них живут только люди, которые всегда говорят правду, во втором — только те, кто всегда лжет. Все они ходят друг к другу в гости, т.е. в любом из этих двух городов можно встретить как честного человека, так и лжеца.

Предположим, вы оказались в одном из этих городов. Как, задав один-единственный вопрос первому встречному, определить, в какой город вы попали?

Ответ

Надо задать вопрос типа: “Вы живете в этом городе?”, “Вы находитесь в своем городе?”, “Вы — местный?”, “Вы здесь живете?” и т.п. В этом случае ответы будут такими, как в таблице:

Значит, по ответу можно определить, в каком городе вы находитесь.

Можно также задать вопросы типа: “Вы приехали в этот город в гости?”, “Вы здесь в гостях?” и т.п. Тогда ответы будут такими:

Значит, по ответу также можно определить, в какой город вы попали.

2. “У развилки”

Предположим, вы оказались в таком месте, где живут только два племени — племя злых каннибалов-людоедов и племя хороших людей. Причем людоеды к тому же всегда говорят неправду, а их соседи — наоборот, безупречно честные люди. Допустим, что вы находитесь у развилки, где одна дорога ведет к одному племени, другая — к другому. Вам, естественно, нужно попасть к хорошим людям. На развилке стоит какой-то человек. Вы не знаете, честный он или лгун. Что нужно ему сказать, чтобы выбрать нужную вам дорогу?

Ответ

Нужно спросить: “Какая дорога ведет к твоему племени?” Честный покажет дорогу к своим, а лгун-людоед обманет и покажет дорогу к “чужим”, т.е. к хорошим людям, куда и нужно идти.

Можно также задать вопрос: “Где живут ваши соседи?” Хороший человек укажет на дорогу к племени каннибалов, а лгун — на дорогу к своему племени. В любом случае идти нужно по другой дороге. Возможны и другие варианты вопроса.

3. “Ли Ван и Ван Ли”

В некоторой стране, жители которой говорят или только правду, или только лгут, имеются два семейства — Ли Ван и Ван Ли, отличающиеся от обычных жителей. Семейство Ли Ван говорит правду только утром и лжет вечером, а семейство Ван Ли — правду только вечером, а ложь утром.

Вы встретили двух человек — А и В, по одному из каждого семейства, но не знаете, кто из них к какому семейству принадлежит. Каждый сделал по одному утверждению:

A: “Сейчас вечер”;

B: “Моя фамилия Ван Ли”.

Какие семейства представляет каждый из встреченных?

Решение

Попробуем определить, в какое время суток произошла встреча. Допустим, это произошло утром. В этом случае А солгал, т.е. он Ван Ли (члены этого семейства утром говорят неправду). Но тогда солгал и В (он не может быть членом того же семейства), чего быть не может. Следовательно, утром встреча произойти не могла.

Так как на самом деле встреча произошла вечером, то А сказал правду, т.е. он Ван Ли, а солгавший В — из семейства Ли Ван.

4. “Где пожар?”

Жители города Правдинска говорят только правду, жители города Ложенца — только ложь, а жители города Тотактосяк — попеременно правду и ложь (то есть из каждых двух высказанных ими утверждений одно всегда истинно, а другое — ложно). Пожарная часть обслуживает все три эти города. Однажды в пожарную часть сообщили по телефону: “У нас пожар — скорее приезжайте!”. “Где?” — спросил дежурный по части. “В городе Тотактосяк”, — ответили ему.

В какой город должна была приехать пожарная машина, если известно, что через час после ее приезда пожар был потушен? Следует учесть, что звонили не обязательно из того города, где произошел пожар³.

Решение

Рассмотрим все возможные варианты, откуда мог быть звонок в пожарную часть.

Если звонок был из Правдинска, то второй ответ (“В городе Тотактосяк”) оказался бы ложным, что невозможно для жителей этого города.

Если звонок был из города Тотактосяк, то возможные случаи для города, где на самом деле произошел пожар, можно исследовать в таблице:

Видно, что оба сообщения либо истинны, либо ложны одновременно, что для жителей города Тотактосяк невозможно. Значит, звонок был не из города Тотактосяк.

Если звонок был из Ложенца, то сообщение “У нас пожар” означает, что пожар произошел либо в Правдинске, либо в Тотактосяке; фраза “В городе Тотактосяк” означает, что пожар точно не в этом городе, значит, звонили из города Ложенец, а пожар произошел в Правдинске.

Ответ. Пожарная машина должна была поехать в город Правдинск, что она, согласно условию, и сделала.

5. “В городе Обыворпол”

В городе Обыворпол живут только обыватели, воры и полицейские (поэтому он так и называется). Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам. Во всех остальных случаях жители Обыворпола говорят правду. Однажды несколько обыворполцев водили хоровод и каждый сказал своему правому соседу: “Я — полицейский”. Сколько обывателей было в этом хороводе?

Ответ: в хороводе не было ни одного обывателя.

Обоснование

Сначала ответим на вопрос: “Может ли в хороводе оказаться хотя бы один обыватель?”

Пусть в хороводе оказался обыватель. Все возможные варианты представления его соседом слева приведены в таблице:

А так как ни один участник хоровода не представился своему соседу справа ни вором, ни обывателем, то это значит, что в хороводе не было ни одного обывателя.

6. “Фальшивая монета”

Имеются две монеты — одна настоящая, вторая фальшивая, и есть два человека, которые знают, какая из монет фальшивая. Но беда в том, что один из них — лгун и всегда говорит неправду, а второй всегда говорит правду; вы не знаете, кто из них кто. Вы должны, задав лишь один вопрос одному из людей, узнать, какая монета фальшивая. Какой это должен быть вопрос?

Решение

Показав на конкретную монету, надо спросить любого из людей: “Твой товарищ сказал бы, что эта монета — настоящая?” В случае ответа “Да” можно сделать вывод о том, что указанная монета фальшивая, в случае ответа “Нет” — что указанная монета настоящая. Обос­нование приведено в таблице:

Можно также спросить: “Твой товарищ сказал бы, что эта монета — фальшивая?” В случае ответа “Нет” можно сделать вывод о том, что указанная монета фальшивая, в случае ответа “Да” — что указанная монета настоящая. Обоснование также дано в таблице:

Еще один из вариантов — не показывая на конкретную монету, спросить: “Что ответил бы твой товарищ, если бы его спросили, какая монета настоящая?” Правдивый человек укажет на фальшивую монету (на которую показал бы лгун), и на эту же монету указал бы лгун (искажая ответ правдивого человека). Таким образом можно выявить фальшивую монету. Можно также задать аналогичный вопрос о фальшивой монете и по ответам на него выявить настоящую монету.

7. “Фальшивая монета-2”

Имеются две монеты — одна настоящая, вторая фальшивая. Есть два человека, которые знают, какая из монет фальшивая. Один из них — либо “лжец”, либо “правдец” (т.е. либо всегда лжет, либо всегда говорит правду), а второй — “хитрец”, то есть человек, который говорит правду и ложь строго поочередно (то есть либо на нечетные вопросы отвечает ложью, а на четные — правдой, либо, наоборот, на нечетные говорит правду, а на четные — лжет). Проблема в том, что неизвестно, кто из них хитрец. Вы имеете право задать два вопроса одному из людей. Как вам выявить фальшивую монету?

Решение

Первый вопрос должен быть таким: “Вы хитрец?”

После ответа надо, указав на конкретную монету, спросить: “Эта монета настоящая?”

Ответ “Нет” на первый вопрос будет означать, что на второй вопрос этот человек ответит правду, а ответ “Да” — что в ответ на второй вопрос этот человек солжет. Обоснование приведено в таблице:

Итак, зная, лжет ли человек или говорит правду в ответе на второй вопрос (он может быть также таким: “Эта монета фальшивая?”), можно определить “качество” той или иной монеты.

Можно также указанные вопросы задать в другом порядке.

8. “Еще раз семейства Ли Ван и Ван Ли”

В некоторой стране, жители которой говорят или только правду, или только лгут, имеются два семейства — Ли Ван и Ван Ли, отличающиеся от обычных жителей. Семейство Ли Ван говорит правду только утром и лжет вечером, а семейство Ван Ли — правду только вечером, а ложь утром.

Допустим, вы встретились с четырьмя представителями этих семейств (назовем их А, B, C и D), по два человека от каждого. Вот что сказал каждый встреченный:

A: “B — Ли Ван”;

B: “C — один из Ван Ли”;

C: “A и D — из различных семейств”;

D: “A и B — из одного и того же семейства”.

Когда могла произойти встреча — утром или вечером? Какие семейства представляет каждый из говоривших?

Решение

Рассмотрим два возможных случая (встреча произошла утром и встреча произошла вечером) и для каждого из них — все возможные варианты сочетания фамилий пар людей.

1. Первый случай — встреча произошла утром (Ли Ван говорят правду, Ван Ли — лгут)

№	Вариант	Высказывания	Анализ
1	А и В — Ли Ван	А: B — Ли Ван	Соответствие
		В: C — один из Ван Ли	То же
	С и D — Ван Ли	С: НЕ(A и D — из различных семейств)	Противоречие (A и D — из различных семейств)
		D: НЕ(A и B — из одного и того же семейства)	Противоречие (A и B —из одного семейства)
2	А и В — Ван Ли	А: НЕ (B — Ли Ван)	Соответствие
		В: НЕ(C — один из Ван Ли)	То же
	С и D — Ли Ван	C: A и D — из различных семейств	— “ —
		D: A и B — из одного и того же семейства	— “ —
3	А и С — Ли Ван	А: B — Ли Ван	Противоречие (В — Ван Ли)
		C: A и D — из различных семейств	Соответствие
	В и D — Ван Ли	В: НЕ(C — один из Ван Ли)	То же
		D: НЕ(A и B — из одного и того же семейства)	— “ —
4	А и С — Ван Ли	А: НЕ (B — Ли Ван)	Противоречие (В — Ли Ван)
		C: НЕ(A и D — из различных семейств)	Противоречие (A и D — из различных семейств)
	В и D — Ли Ван	В: C — один из Ван Ли	Соответствие
		D: A и B — из одного и того же семейства	Противоречие (они из различных семейств)
5	А и D — Ли Ван	А: B — Ли Ван	Противоречие (он — Ван Ли)
		D: A и B — из одного и того же семейства	Противоречие (они из различных семейств)
	В и С — Ван Ли	В: НЕ(C — один из Ван Ли)	Противоречие (C — Ван Ли)
		C: НЕ(A и D — из различных семейств)	Противоречие (они из различных семейств)
6	А и D — Ван Ли	А: НЕ(B — Ли Ван)	Противоречие (В — Ли Ван)
		D: НЕ(A и B — из одного и того же семейства)	Противоречие (они из различных семейств)
	В и С — Ли Ван	В: C — один из Ван Ли	Противоречие (С — Ли Ван)
		C: A и D — из различных семейств	Соответствие

2. Второй случай — встреча произошла вечером (Ван Ли говорят правду, Ли Ван — лгут)

№	Вариант	Высказывания	Анализ
1	А и В — Ли Ван	А: НЕ(B — Ли Ван)	Противоречие (В — Ван Ли)
		В: НЕ(C — один из Ван Ли)	Противоречие (С — Ван Ли)
	С и D — Ван Ли	C: A и D — из различных семейств	Соответствие
		D: A и B — из одного и того же семейства	То же
2	А и В — Ван Ли	А: B — Ли Ван	Противоречие (В — Ван Ли)
		В: C — один из Ван Ли	Противоречие (С — Ли Ван)
	С и D — Ли Ван	C: НЕ(A и D — из различных семейств)	Противоречие (они из различных семейств)
		D: НЕ(A и B — из одного и того же семейства)	Противоречие (они из одного семейства)
3	А и С — Ли Ван	А: НЕ(B — Ли Ван)	Соответствие
		C: НЕ(A и D — из различных семейств)	Противоречие (они из различных семейств)
	В и D — Ван Ли	В: C — один из Ван Ли	Противоречие (С — Ли Ван)
		D: A и B — из одного и того же семейства	Противоречие (они из различных семейств)
4	А и С — Ван Ли	А: B — Ли Ван	Соответствие
		C: A и D — из различных семейств	То же
	В и D — Ли Ван	В: НЕ(C — один из Ван Ли)	Противоречие (С — Ван Ли)
		D: НЕ(A и B — из одного и того же семейства)	Противоречие (они из различных семейств)
5	А и D — Ли Ван	А: НЕ(B — Ли Ван)	Соответствие
		D: НЕ(A и B — из одного и того же семейства)	То же
	В и С — Ван Ли	В: C — один из Ван Ли	— “ —
		C: A и D — из различных семейств	Противоречие (они из одного семейства)
6	А и D — Ван Ли	А: B — Ли Ван	Соответствие
		D: A и B — из одного и того же семейства	Противоречие (они из различных семейств)
	В и С — Ли Ван	В: НЕ(C — один из Ван Ли)	Соответствие
		C: НЕ(A и D — из различных семейств)	— “ —

Вывод: единственным возможным вариантом является вариант 2 первого случая, т.е. встреча произошла утром, А и В — представляют семейство Ван Ли, С и D — семейство Ли Ван.

9. “И вновь семейства Ли Ван и Ван Ли”

Вы опять попали в страну, где жители говорят или только правду, или только лгут, и опять вы встретились с представителями двух семейств, отличавшихся от обычных жителей. Семейство Ли Ван говорит правду только утром и лжет вечером, а семейство Ван Ли — правду только вечером, а ложь утром.

Допустим, вы встретились с пятью представителями этих семейств (назовем их А, B, C, D и Е). На ваш вопрос: “Кто из вас кто?” — были получены следующие ответы:

A: Моя фамилия Ван Ли или это утро;

B: Моя фамилия Ли Ван или это вечер;

C: D и E — из одного и того же семейства;

D: A из семейства Ли Ван;

E: B — Ван Ли.

Когда могла произойти встреча? Какие семейства представляет каждый из встреченных?

Решение

Если, как и при решении предыдущей задачи, рассматривать все возможные сочетания принадлежности каждого из пяти встреченных в парке людей семействам Ли Ван и Ван Ли, то общее количество случаев, которые надо рассмотреть в данной задаче, составит 30 (см. табл. 1).

Таблица 1

№	Вариант	Kоличество случаев	Обоснование
1	Один Ли Ван, четыре Ван Ли	5	Число сочетаний из 5 по 1
2	Два Ли Ван, три Ван Ли	10	Число сочетаний из 5 по 2
3	Три Ли Ван, два Ван Ли	10	Число сочетаний из 5 по 3
4	Четыре Ли Ван, один Ван Ли	5	Число сочетаний из 5 по 1
	Всего	30

Примечания

1. Число сочетаний из n по m () может быть рассчитано следующим образом:

2. Число сочетаний из 5 по 3 () равно числу сочетаний из 5 по 2 (),=Рассмотрение такого количества случаев, да еще с учетом того, когда произошла встреча — утром или вечером, крайне трудоемко, но, конечно, возможно. Это количество можно значительно сократить (как будет показано ниже — в 2 раза), учитывая следующие рассуждения.

Если встреча произошла утром, когда Ван Ли лгут, то A не может быть из этого семейства, т.к. его высказывание истинно.

Аналогично, если встреча была вечером, когда неправду говорят Ли Ван, то В не может быть Ли Ван, т.к. его высказывание истинно.

Следовательно, для встречи утром все случаи, при которых A принадлежит семейству Ван Ли, можно не рассмат­ривать, а для встречи вечером можно не рассматривать все случаи, при которых В принадлежит семейству Ли Ван.

Остальные варианты и случаи для встречи утром приведены в табл. 2.

Примечание. Общее число рассматриваемых случаев — 15.

Анализ высказываний людей в парке с учетом того, что встреча произошла утром, позволяет сделать следующие выводы.

1. D не может быть из семейства Ван Ли, поскольку он, как и все представители этого семейства, утром лжет, а его высказывание — истинно. Следовательно, случаи 1.1, 2.1, 2.2, 2.4, 3.1, 3.3, 3.5 и 4.2 — невозможны.

2. В и Е одновременно не могут быть из семейства Ван Ли, так как высказывание Е — утром ложное. Значит, случаи 2.3, 3.4 — невозможны.

3. С не может быть Ван Ли, когда D и Е принадлежат к одному семейству. Следовательно, случаи 3.6 и 4.4 — невозможны.

	Вариант и случай			Анализ
1	Один Ли Ван, четыре Ван Ли
	Из семейства Ли Ван:	Из семейства Ван Ли:
1.1	А	В, С, D и E		Случай невозможен (см. ниже вывод 1)
Остальные случаи этого варианта не рассматриваем —как только что указывалось, А не может быть из семейства Ван Ли. Значит, из всех пяти (см. табл. 1) случаев допустим только один — когда Ли Ван это А, а В, С, D и E — из семейства Ван Ли.
2	Два Ли Ван, три Ван Ли
	Из семейства Ли Ван:	Из семейства Ван Ли:
2.1	А и В	С, D и E		Случай невозможен (см. ниже вывод 1)
2.2	А и С	В, D и E		То же
2.3	А и D	В, C и E		Случай невозможен (см. ниже вывод 2)
2.4	А и Е	В, C и D		Случай невозможен (см. ниже вывод 1)
Остальные случаи этого варианта не рассматриваем (см. выше)
3	Три Ли Ван, два Ван Ли
	Из семейства Ли Ван:		Из семейства Ван Ли:
3.1	А, В и С		D и E	Случай невозможен (см. ниже вывод 1)
3.2	А, В и D		С и E	Случай возможен
3.3	А, В и Е		C и D	Случай невозможен (см. ниже вывод 1)
3.4	A, C и D		В и Е	Случай невозможен (см. ниже вывод 2)
3.5	A, C и Е		В и D	Случай невозможен (см. ниже вывод 1)
3.6	A, D и Е		В и С	Случай невозможен (см. ниже вывод 3)
Остальные случаи этого варианта не рассматриваем (см. выше)
4	Четыре Ли Ван, два Ван Ли
	Из семейства Ли Ван:		Из семейства Ван Ли:
4.1	А, В, С и D		E	Случай невозможен (см. ниже вывод 4)
4.2	А, В, С и E		D	Случай невозможен (см. ниже вывод 1)
4.3	А, С, D и E		В	Случай возможен
4.4	А, В, D и E		С	Случай невозможен (см. ниже вывод 3)
Остальные случаи этого варианта не рассматриваем (см. выше)

4. Когда D и Е принадлежат к разным семействам, С не может быть из семейства Ли Ван. Следовательно, случай 4.1 также невозможен.

Проверка всех высказываний для двух оставшихся случаев показывает, что оба они возможны. Итак, встреча могла произойти утром, и A, B и D из семьи Ли Ван, а C и E — Ван Ли, либо А, С, D и E — Ли Ван, а В — Ван Ли.

Аналогичный анализ для возможной встречи вечером показывает, что она могла произойти в это время, и при этом также возможны 2 варианта:

1) A, B и Е — из семейства Ван Ли, а С и D — Ли Ван;

2) А, С, D и E — Ван Ли, а В — из семейства Ли Ван.

10. “Три нумизмата”

Три нумизмата (коллекционера монет) — Иван, Дмитрий и Алексей — приобрели 6 монет: 3 золотые и 3 серебряные. Каждому досталось по две монеты. Иван не знает, какие монеты достались Дмитрию, а какие — Алексею, но, естественно, знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Иван ответит “Да”, “Нет” или “Не знаю”, и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались. Иван — человек честный и рассуждающий всегда логично.

Решение

Вот пример такого вопроса: “Правда ли, что у тебя золотых монет больше, чем у Алексея?”

Если у Ивана две золотые монеты, он скажет “Да”, поскольку у Алексея не может быть больше одной золотой монеты. Если обе монеты Ивана серебряные, то у Алексея — хотя бы одна золотая, и Иван ответит “Нет”.

Ну а если ему достались разные монеты, то он ответит “Не знаю”, так как у Алексея могут оказаться как две золотые, так и две серебряные монеты.

Можно задать и другие вопросы, например:

— “Правда ли, что у тебя серебряных монет больше, чем у Алексея?” (или у Дмитрия);

— “Правда ли, что одному из двух других нумизматов достались две серебряные монеты?”;

— “Правда ли, что одному из двух других нумизматов достались две золотые монеты?”;

— “Верно ли, что два других нумизмата получили хотя бы по одной золотой монете каждый?”;

— “Золотая монета дороже по достоинству. Иван, тебе выгодно поменять свои монеты с кем-нибудь из ребят?”;

— “Если один из твоих друзей отдаст тебе одну монету, тогда у тебя золотых монет станет больше, чем у них вместе?”;

— “Есть ли у Алексея и Дмитрия (у каждого) как минимум по одной золотой монете?”;

— “Верно ли, что хотя бы одному из двух твоих друзей достались две серебряные монеты?”;

— “Стоимость твоих монет больше, чем у Алексея или у Дмитрия?”;

— “В твоей коллекции на одну золотую монету больше, чем у одного из двух твоих знакомых нумизматов?”;

— “Если я заберу у тебя одну монету и дам вместо нее золотую, станет ли у тебя больше золотых?”

и т.п.

11. “На острове Ложно-Правдивый”

На острове Ложно-Правдивый живут только честные люди, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. У любого лжеца нагрузка на работе меньше, а зарплата больше, чем у любого честного человека, причем чем больше работает островитянин, тем меньше он получает (к сожалению). Известно также, что нагрузка у всех жителей разная.

Каждый из островитян однажды сделал два заявления:

1) “На острове нет и десяти человек, которые работают больше меня”;

2) “По крайней мере сто человек на острове получают зарплату большую, чем моя”.

Сколько человек живет на этом острове?

Решение

Надо проанализировать высказывания самого работящего лжеца и честного жителя, получающего наибольшую (из честных островитян) зарплату (и одновременно работающего больше других честных жителей).

Из высказывания № 1 самого высокооплачиваемого из честных островитян очевидно, что таких жителей — не больше 10 (говорящий это и 9 или меньше человек, которых он имел в виду). С другой стороны, если проанализировать высказывание № 1 самого работящего из лжецов, то на острове имеется минимум 10 человек, работающих больше него, и все они — честные (напомним, что он — лжец и его высказывание — ложное). Таким образом, на острове живут 10 честных жителей (n = 10).

Из высказывания № 2 самого высокооплачиваемого из честных жителей следует, что на острове живут минимум 100 лжецов, из такого же высказывания самого низкооплачиваемого лжеца — что лжецов на острове — максимум 100. Следовательно, на острове живут 100 лжецов (m = 100).

Итак, 100 жителей острова — лжецы, и 10 — честные люди (вот такой “странный” остров  :).

12. “Парламент острова Ложно-Правдивый”

На острове Ложно-Правдивый живут только честные люди, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. В парламенте острова — 101 депутат. В условиях финансового кризиса :) в целях сокращения бюджета было решено сократить парламент на одного (!  :) депутата. Но каждый из депутатов заявил, что если его выведут из состава парламента, то среди оставшихся депутатов большинство составят лжецы. Сколько честных и сколько лжецов в парламенте?

Ответ: в парламенте 51 лжец и 50 честных депутатов.

Обоснование

Пусть в парламенте Ч честных депутатов и Л лжецов (Ч + Л = 101). Тогда в соответствии с высказыванием честного депутата Ч – 1 < 50 (в новом составе честные составят меньшинство). Следовательно, Ч < 51.

В соответствии с высказыванием депутата-лжеца,
Л – 1 50 (его высказывание о том, что Л – 1 оставшихся депутатов-лжецов составят большинство из 100 депутатов — ложное). Следовательно, Л 51.

Два полученных неравенства одновременно соблюдаются с учетом равенства Ч + Л = 101 только при Л = 51 и Ч = 50.

Три очень умных попугая

На рыночной площади одного маленького городка стоял старик с тремя очень умными говорящими попугаями. За некоторую плату каждый попугай отвечал на заданные ему вопросы. Жители городка знали, что один из попугаев при любой плате говорит правду, другой, сколько ему не дай, соврет, а третий отвечает согласно плате и настроению: решит, что мало дали, — соврет, решит, что плата достаточная, — скажет правду. Но вот кто из них — лжец, кто — хитрец, никто не знал, пока в город не приехал… специалист по логике.

— Кто стоит рядом с тобой? — спросил он у первого попугая.

— Лжец, — ответил тот.

— А ты кто такой? — спросил специалист у второго попугая.

— Я хитрец!

— А кто стоит рядом с тобой? — спросил он у третьего попугая.

— Абсолютно честный попугай! — был ответ.

После этого специалист по логике сказал, кто из них действительно абсолютно честный, кто лжец, а кто хит­рец. А вы сможете это сделать?

Решение

Из ответа третьего попугая следует, что он не может быть абсолютно честным (ведь такой попугай только один, и одновременно с ним второй честным быть не может). Значит, честным является либо первый, либо второй попугай. Но второй им быть не может (он не ответил, что является честным). Следовательно, абсолютно честным попугаем является первая птица. Тогда из высказывания этого (правдивого) попугая следует, что второй попугай — лжец. Остается, что третий попугай то лжет, то говорит правду.

Литература

Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М.: Изд-во “Издательский дом Мещерякова”, 2007.

---

1 О том, что серьезный среди них один, Волков сказать не мог, поскольку о таких его словах сказали его товарищи-“шутники”.

2 Задачи были использованы в газете “Информатика” для проведения конкурса для учащихся, который вызвал большой интерес среди читателей-школьников. За правильное решение каждой задачи присуждался 1 балл, а в задачах “Еще раз семейства Ли Ван и Ван Ли” и “И вновь семейства Ли Ван и Ван Ли” — 1 балл за каждый найденный вариант ответа. Итоги конкурса проводились с учетом решения всех задач в целом.

3 Обращаем внимание читателей на то, что ложные звонки о пожаре, о заложенных взрывных устройствах и т.п. наказываются по закону.