Греческая алфавитная система счисления

Первая часть статьи закончилась вопросом: “Как складывать и вычитать числа, записанные в греческой алфавитной системе счисления?” И из него естественным образом вытекает и другой: “Имелся ли счетный прибор для выполнения этих операций?” О том, что подобные приборы существовали у египтян и греков, указывает историк Древнего мира Геродот. Историки математики называют эти приборы общим названием — “абак”. Впервые о счетном абаке упоминает Геродот: “Египтяне считают камешками, водя рукой справа налево, между тем как эллины водят рукой слева направо”.

До сих пор считалось, что самый ранний экземпляр древнегреческого абака, который некоторыми авторами датируется V веком до н.э., был найден в 1848 г. на острове Саламис вблизи Афин. Автор статьи [1] указывает, что во время подготовки статьи (1957 г.) уже было найдено 12 экземпляров аналогичных греческих абаков, а автор статьи [2] (2002 год) сообщает, что в различных публикациях по результатам археологических раскопок ему удалось найти 29 экземпляров греческих абаков. Но все эти абаки были рассчитаны на использование так называемой “греческой акрофонической (аттической, или геродиановой) системы нумерации” — системы, очень схожей с системой римских чисел. А существовали ли абаки, сконструированные применительно к греческой алфавитной системе¹?

Для ответа на этот вопрос, по моему мнению, нужно заглянуть в Археологический музей во Флоренции (Италия), где хранится “марсилианская табличка”, неоднократно описанная в литературе [3–4]. В начале XX века в Северной Италии, в селении Марсилиана, расположенном в 20 км от берега Тирренского залива, в нижнем течении реки Албенья, производились раскопки большого некрополя у греческого поселения в древней греческой колонии на территории Этрурии. Некрополь датируется примерно 700–650 гг. до н.э. Поселение представляло собой колонию греков, прибывших с острова Эвбея, расположенного у материковой Греции. В некрополе вблизи этого поселения и была обнаружена дощечка из слоновой кости вместе со “стилусом” — костяной палочкой для письма по воску, остатки которого обнаружены на внутреннем прямоугольном поле таблички (рис. 1). Особенность этой таблички в том, что в ее верхней части имеется так называемый “абецедарий”². Он представлен западно-греческим алфавитом VII века до н.э., но записан справа налево, т.е. в направлении, противоположном направлению греческого письма. Этот факт всегда смущал исследователей. В своей классической работе [3] Л.Джеффери, описывая алфавит этого абецедария, отмечает, что он, как и некоторые другие абецедарии, представленные на вазах и других предметах, найденных в соседних местах, является эвбейским, но это единственный пример (выделено мною. — М.Ц.) алфавитной последовательности, которая записана справа налево. До настоящего времени специалисты-археологи не могут определенно указать назначение этой таблички.

Рис. 1. Марсилианская табличка (около 700 г. до н.э.). Ее размеры 2 ґ 31/2 дюйма (51 ґ 89 мм). Внутреннее прямоугольное поле заполнялось слоем воска, следы которого сохранились

Рис. 2. Возможные числовые значения букв на марсилианской табличке

По моему мнению, эта табличка является греческой счетной доской для вычислений с числами, записанными в греческом числовом алфавите того времени. Именно приведенный на табличке обратный порядок букв позволял получать при расчетах числа, состоящие из компонентов, записанных в “правильном” порядке, т.е. старшие разряды слева, а младшие — справа.

Вычислитель делал стилусом ямки на восковой поверхности против соответствующих букв и получал число, состоящее из единиц, десятков и сотен. Под ним можно было записать другое число, с другими числовыми компонентами. Тогда легко можно было произвести сложение или вычитание этих чисел.

На рис. 3 показан пример сложения на счетной доске с абецедарием.

Я не настаиваю на 100%-ной истинности записанных на рис. 2 возможных числовых значений букв на марсилианской табличке, по-видимому, дальнейшие исследования текстов, включающих записи чисел, позволят кое-что уточнить. Форма и размеры таблички и используемый материал (слоновая кость) говорят, что это не “опытный образец”, а “серийное изделие” и, вероятнее всего, оно скопировано с аналогичных изделий, применявшихся многие десятилетия, если не столетия, египтянами.

Таким образом, можно предположить, что марсилианская табличка является самым древним, обнаруженным археологами, прибором, своего рода “карманным компьютером” VII в. до н.э., позволявшим производить необходимые расчеты (торговые и технологические, поскольку в тех местах было налажено изготовление бронзовых зеркал). Жрецы и родственники умершего, очевидно, решили, что этот предмет крайне необходим его владельцу в загробной жизни…

Литература

1. Lang M. Herodotos and the abacus. / Hesperia, 1957.

2. Scharlig A. Greek Abacus — Two Types and Some Uncertainties. / Mediterranean Archaeology, 2002.

3. Jeffery L.H. The Local Scripts of Archaic Greece. Oxford: Clarendon Press, 1961.

4. Абак. / “В мир информатики” № 27 (“Информатика” № 15/2004).

Окончание — в следующем выпуске.

---

1 Косвенным указанием на существование абака для расчетов в такой системе является сам факт существования этой системы в течение всего тысячелетнего периода Византийской империи. Ведь без такого прибора выполнение коммерческих и административных функций было крайне затруднено.

2 Так называют алфавит в странах, использующих латиницу (от лат. abecedarium — алфавит). Термин образован от первых четырех букв латинского алфавита — а, b, с и d.