1. Задача “Система счисления в… колесе”

Решение

Пусть R — радиус колеса, n — число оборотов колеса, S — пройденное расстояние. Так как длина окружности колеса равна 2pR, то имеем: S = 2p Rn. Теперь запишем значения 101_х и 313_х в десятичной системе счисления:

101_х = 1 Ч x² + 0 Ч x¹ + 1, 313_х = 3 Ч x² + 1 Ч x¹ + 3.

После этого получим уравнение вида 3 Ч x² + x + 3 = = (2 Ч 3,14 Ч (x² + 1) Ч 50 000)/10⁵ (правую часть уравнения переводим в километры). После преобразований получим 0,14Ч x² – x + 0,14 = 0. Умножая обе части уравнения на 100, получим квадратное уравнение 14x² – 100x + 14 = 0, у которого подходящий корень равен 7.

Правильные ответы прислали:

— Архипова Анастасия, Баженова Полина, Гуркина Элина, Ильясов Михаил, Кольцов Александр, Лесовая Кристина, Мануйлов Дмитрий, Медведок Виктор, Путкарадзе Натия и Чередник Юлия, Красноярский край, г. Канск, школа № 5, учитель Павлова Н.Н.;

— Баженов Виктор и Баженов Михаил, средняя школа села Горелово Тамбовской обл., учитель Шитова Л.А.;

— Воронина Наталья, г. Самара, школа № 102, учитель Боякова И.А.;

— Гончаренко Анастасия, Республика Карелия, г. Сегежа, школа № 5, учитель Меньшиков В.В.;

— Григоренко Василий, Григоренко Дмитрий, Есипова Мария, Круглякова Мария и Яснова Дарья, средняя школа поселка Осиновка, Алтайский край, учитель Евдокимова А.И.;

— Деминцев Борис, средняя школа села Сердар, Республика Марий Эл, учитель Чернова Л.И.;

— Иванова Ирина и Холопова Кристина, г. Заозерный Красноярского края, гимназия № 2, учитель Владимирова Н.А.;

— Лутовинова Екатерина и Ячевский Илья, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Мячина С.А.;

— Мнацаканян Ашот, средняя школа поселка Новопетровский Московской обл., учитель Артамонова В.В.

2. Задача “В лес по ягоды”

Ответ приведен на рисунке, который нарисовала Анна Котяшова, Республика Башкортостан, г. Уфа, школа № 18, учитель Искандарова А.Р. (имена девочек на рисунке установите самостоятельно).

Кроме Анны, правильные ответы прислали:

— Авдеев Александр, Веселов Павел, Герасенко Юлия, Гребеньков Егор, Засядько Александр, Кузьменко Алина, Машкин Дмитрий, Никифоров Алексей, Нефедов Алексей, Праслова Анжела, Родионова Ольга, Сизикова Полина, Трофимова Елена, Харитончик Игорь и Шибков Максим, Республика Карелия, г. Сегежа, школа № 5, учитель Меньшиков В.В.;

— Воронина Анастасия, средняя школа поселка Дормидонтовка Вяземского р-на Хабаровского края, учитель Афиногенова Н.И.;

— Воронина Наталья, г. Самара, школа № 102, учитель Боякова И.А.;

— Галушкова Карина, Республика Карелия, поселок Надвоицы, школа № 1, учитель Богданова Л.М.;

— Горшенёв Денис и Киселева Полина, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Мячина С.А.;

— Дробизов Олег, Зырянский Иван, Колпаков Александр, Шарковская Анастасия и Шевелей Денис, Красноярский край, г. Канск, школа № 5, учитель Павлова Н.Н.;

— Игнатьева Сахая, Игнатьева Ульяна и Максимов Борис, средняя школа села Качикатцы Хангаласского улуса, Республика Саха (Якутия), учитель Яковлева М.Д.;

— Ильиных Светлана, Алтайский край, средняя школа села Панкрушиха, учитель Ужакина Л.Г.;

— Калугина Ксения, Капитонов Кирилл, Кострубов Иван, Куфтерин Алексей, Кучкаров Тимур, Остроухова Анна, Скворцов Данил и Фаткуллин Марсель, Респуб­лика Башкортостан, г. Уфа, школа № 18, учитель Искандарова А.Р.;

— Курбанова Анна, Пажитнов Илья, Палихова Таисия, Погребная Евгения, Рюмина Елена, Смирнов Владимир, Сотникова Валерия, Федотова Светлана и Чернышова Юлия, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Степаненко О.В.;

— Серов Андрей, Свердловская обл., г. Качканар, средняя школа им. К.Н. Новикова, учитель Серова Л.А.;

— Слимов Никита, Москва, школа № 1399, учитель Шнейдер Е.В.;

— Шаргородская Анжелика, г. Краснознаменск, школа № 4 им. Г.К. Жукова, учитель Федорова Л.А.;

— Юртаев Михаил, в прошлом учебном году ученик 1-го (!) класса школы № 124 г. Челябинска, учитель Юртаева Г.Ю.

3. Задача “Три банки с печеньем”

Ответ

Чтобы правильно расположить этикетки, нужно взять любую из банок и открыть ее.

Если взята банка с этикеткой “Овсяное печенье”,

то:

1) если в ней миндальное печенье,

то в двух других банках — овсяное и шоколадное печенье. На них этикетки “Шоколадное печенье” и “Миндальное печенье”, причем эти этикетки наклеены неправильно.

Значит, овсяное печенье в банке с этикеткой “Шоколадное печенье”, а шоколадное печенье — в другой.

Зная это, можно этикетки расположить правильно;

2) если в ней шоколадное печенье,

то в двух других банках — овсяное и миндальное печенье. На них этикетки “Шоколадное печенье” и “Миндальное печенье”, причем эти этикетки наклеены неправильно.

Значит, овсяное печенье в банке с этикеткой “Миндальное печенье”, а миндальное печенье — в другой.

Зная это, можно также решить задачу.

Рассуждая аналогично, можно также узнать, какое печенье где находится, если взять банку с этикеткой “Шоколадное печенье” или с этикеткой “Миндальное печенье”.

Правильные ответы представили:

— Архипова Анастасия, Баженова Полина, Гуркина Элина, Ильясов Михаил, Кольцов Александр, Лесовая Кристина, Мануйлов Дмитрий, Медведок Виктор, Путкарадзе Натия и Чередник Юлия, Красноярский край, г. Канск, школа № 5, учитель Павлова Н.Н.;

— Атапина Юлия, Баженов Андрей, Емелина Марина, Киселев Андрей, Фандин Александр и Щербакова Алена, средняя школа рабочего поселка Пинеровка, Саратовская обл., Балашовский р-н, учитель Пичугин В.В.;

— Баженов Виктор и Баженов Михаил, средняя школа села Горелово Тамбовской обл., учитель Шитова Л.А.;

— Григоренко Василий, Григоренко Дмитрий, Есипова Мария, Круглякова Мария и Яснова Дарья, средняя школа поселка Осиновка, Алтайский край, учитель Евдокимова А.И.;

— Деминцев Борис, средняя школа села Сердар, Республика Марий Эл, учитель Чернова Л.И.;

— Егорова Юлия, Дуракова Маргарита, Маслова Валерия, Рюмина Наталия и Тюсина Оксана, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Мячина С.А.;

— Курбанова Анна, Рюмина Елена, Погребная Евгения, Смирнов Владимир, Сотникова Валерия, Федотова Светлана и Чернышова Юлия, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Степаненко О.В.;

— Максимов Борис, средняя школа села Качикатцы Хангаласского улуса, Республика Саха (Якутия), учитель Яковлева М.Д.;

— Мнацаканян Ашот, средняя школа поселка Новопетровский Московской обл., учитель Артамонова В.В.;

— Прохорова Мария, средняя школа села Ириновка, Новобурасский р-н Саратовской обл., учитель Брунов А.С.;

— Юртаев Михаил, г. Челябинск, школа № 124, учитель Юртаева Г.Ю.

Отметим ответ учащихся из средней школы рабочего поселка Пинеровка, разработавших презентацию Microsoft PowerPoint, иллюстрирующую решение задачи.

4. Статья “Буквенная цифирь”

В статье приведены числа: 15, 83, 516, 557, 4818, 5642 и 70 241.

Правильные ответы прислали:

— Апасова Лилия и Барова Светлана, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Мячина С.А.;

— Архипова Анастасия, Баженова Полина, Гуркина Элина, Ильясов Михаил, Кольцов Александр, Лесовая Кристина, Мануйлов Дмитрий, Медведок Виктор, Путкарадзе Натия и Чередник Юлия, Красноярский край, г. Канск, школа № 5, учитель Павлова Н.Н.;

— Баженов Виктор и Баженов Михаил, средняя школа села Горелово Тамбовской обл., учитель Шитова Л.А.;

— Валиев Наим и Кулахметов Рашид, средняя школа села Восточное Нижегородской обл., учитель Долгова Г.А.;

— Деминцев Борис, средняя школа села Сердар, Республика Марий Эл, учитель Чернова Л.И.;

— Хотеев Сергей, Москва, гимназия № 1530, учитель Шамшев М.В.

Предлагаем читателям ознакомиться со статьей “Еще раз о буквенной цифири” в № 129 нашей газеты.

5. Задача “19 гирек”

Напомним, что необходимо определить, какая из 19 гирек весом 1, 2, 3, …, 19 г золотая, если известно, что остальные 18 штук — поддельные (похожие на золотые), причем все поддельные гирьки выполнены из двух видов сплавов — А (9 штук) и Б (9 штук). Общий вес всех гирек из сплава А на 90 г больше, чем общий вес всех гирек из сплава Б.

Решение

По условию общий вес гирек из сплава Б меньше, чем из сплава А. Первые не могут весить меньше, чем 1 + 2 + …. + 9 = 45 г (W_A 45), и гирьки из сплава Б не могут весить больше, чем 11 + 12 + … + 19 = 135 г (W_В 135). Если бы хотя бы одно из этих неравенств было строгим, то вес гирек из сплава Б превышал бы вес гирек из другого сплава более чем на 90 г. Значит, все гирьки из сплава Б весят 45 г, а из сплава А — 135 г, а это возможно только если они — соответственно девять самых легких и девять самых тяжелых. Поэтому золотая гирька весит 10 г.

Правильные ответы прислали:

— Александрова Любовь, Дементьева Любовь, Кириллова Валерия и Хазов Филипп, г. Нижний Новгород, школа № 77, учитель Занозина Г.В.;

— Архипова Анастасия, Баженова Полина, Гуркина Элина, Ильясов Михаил, Кольцов Александр, Лесовая Кристина, Мануйлов Дмитрий, Медведок Виктор, Путкарадзе Натия и Чередник Юлия, Красноярский край, г. Канск, школа № 5, учитель Павлова Н.Н.;

— Баженов Виктор и Баженов Михаил, средняя школа села Горелово Тамбовской обл., учитель Шитова Л.А.;

— Березовский Егор, Болдин Иван, Илюхина Елизавета, Ланева Олеся, Макарова Ксения, Мандрыкин Александр, Прилуцкий Руслан, Рыбакова Екатерина, Сапунов Максим, Селихова Татьяна и Яшина Екатерина, г. Нижний Новгород, МОУ “Агнес”, клуб “Космос”, педагог Занозин Д.А.;

— Валиев Наим и Кулахметов Рашид, средняя школа села Восточное Нижегородской обл., учитель Долгова Г.А.;

— Гайсина Галия, Республика Башкортостан, г. Уфа, школа № 18, учитель Искандарова А.Р.;

— Гончаренко Анастасия, Республика Карелия,
г. Сегежа, школа № 5, учитель Меньшиков В.В.;

— Деминцев Борис, средняя школа села Сердар, Республика Марий Эл, учитель Чернова Л.И.;

— Косинец Алина и Маслюк Алина, село Спасское Спасского р-на Приморского края, школа № 8, учитель Мирошник Л.В.;

— Логачева Александра, Республика Карелия, г. Сегежа, школа № 5, учитель Меньшиков В.В.;

— Цаплина Ольга, г. Астрахань, школа № 33
им. Н.А. Мордовиной, учитель Лепехина С.М.

6. Головоломки “судоку”

Ответы представили:

— Александрова Любовь, Дементьева Любовь, Кириллова Валерия и Хазов Филипп, г. Нижний Новгород, школа № 77, учитель Занозина Г.В.;

— Алиева Саира, Котляров Алексей, Краснов Виктор, Малютин Дмитрий, Митрошина Ольга, Мищенко Ирина, Солодов Дмитрий и Финк Андрей, средняя школа села Средний Васюган, Томская обл., Каргасокский р-н, учитель Вторушина Н.А.;

— Баженов Виктор и Баженов Михаил, средняя школа села Горелово Тамбовской обл., учитель Шитова Л.А.;

— Березовский Егор, Болдин Иван, Илюхина Елизавета, Ланева Олеся, Макарова Ксения, Мандрыкин Александр, Прилуцкий Руслан, Рыбакова Екатерина, Сапунов Максим, Селихова Татьяна и Яшина Екатерина, г. Нижний Новгород, МОУ “Агнес”, клуб “Космос”, педагог Занозин Д.А.;

— Гайсина Галия, Республика Башкортостан, г. Уфа, школа № 18, учитель Искандарова А.Р.;

— Галушкова Карина, Республика Карелия, поселок Надвоицы, школа № 1, учитель Богданова Л.М.;

— Гарифуллин Ильнур, Исаева Анастасия, Калимуллина Ирина, Павлов Кирилл, Пономаренко Камилла и Шакиров Наиль, Республика Татарстан, г. Альметьевск, школа № 17, учитель Аристова Н.А.;

— Горшенёв Денис, Дуракова Маргарита, Киселева Полина, Маслова Валерия и Тюсина Оксана, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Мячина С.А.;

— Григоренко Василий, Григоренко Дмитрий, Есипова Мария, Круглякова Мария и Яснова Дарья, средняя школа поселка Осиновка, Алтайский край, учитель Евдокимова А.И.;

— Клементьев Сергей, Республика Татарстан, г. Казань, школа № 22, учитель Осипова А.А.;

— Колесникова Мария, Криволуцкая Жанна и Курманов Эдуард, средняя школа села Ложниково, Омская обл., Тарский р-н, учитель Коровин Д.В.;

— Косинец Алина и Маслюк Алина, село Спасское Спасского р-на Приморского края, школа № 8, учитель Мирошник Л.В.;

— Курбанова Анна, Кушакова Валерия, Пажитнов Илья, Палихова Таисия, Погребная Евгения, Рюмина Елена, Смирнов Владимир, Сотникова Валерия, Федотова Светлана и Чернышова Юлия, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Степаненко О.В.;

— Лепехина Наталья, Милашенко Иван и Цаплина Ольга, г. Астрахань, школа № 33 им. Н.А. Мордовиной, учитель Лепехина С.М.;

— Логачева Александра, Республика Карелия, г. Сегежа, школа № 5, учитель Меньшиков В.В.;

— Максимов Борис, средняя школа села Качикатцы Хангаласского улуса, Республика Саха (Якутия), учитель Яковлева М.Д.;

— Мирзебалаев Расим, средняя школа села Гильяр, Республика Дагестан, Магарамкентский р-н, учитель Мирзебалаев А.И.;

— Мнацаканян Ашот, средняя школа поселка Новопетровский Московской обл., учитель Артамонова В.В.;

— Прохорова Мария, средняя школа села Ириновка, Новобурасский р-н Саратовской обл., учитель Брунов А.С.;

— Рожкова Ксения, Республика Коми, г. Сыктывкар, МОУ “Лицей народной дипломатии”,
учитель Гранаткина О.М.;

— Серов Андрей, Свердловская обл., г. Качканар, средняя школа им. К.Н. Новикова, учитель Серова Л.А.;

— Челомов Андрей, средняя школа села Лешуконское, Архангельская обл., учитель Пахова Т.М.

7. Задание “Числовые ребусы
в четверичной системе счисления”

Ответы

1. 1 + 1 = 2.

2. 2 + 2 = 10 или, если считать, что в условии приведена не цифра 0, а буква О, — 3 + 3 = 12.

3. 2 + 2 = 10.

4. 3 + 2 = 11.

5. 3 + 2 = 11.

6. 3 + 3 = 12.

7. 3 + 1 = 10.

8. 3 + 3 = 12.

9. 11 + 1 = 12.

10. 22 + 2 = 30.

Правильные ответы представили:

— Александрова Любовь, Дементьева Любовь, Кириллова Валерия и Хазов Филипп, г. Нижний Новгород, школа № 77, учитель Занозина Г.В.;

— Архипова Анастасия, Баженова Полина, Гуркина Элина, Ильясов Михаил, Кольцов Александр, Лесовая Кристина, Мануйлов Дмитрий, Медведок Виктор, Путкарадзе Натия и Чередник Юлия, Красноярский край, г. Канск, школа № 5, учитель Павлова Н.Н.;

— Баженов Виктор и Баженов Михаил, средняя школа села Горелово Тамбовской обл., учитель Шитова Л.А.;

— Березовский Егор, Болдин Иван, Илюхина Елизавета, Ланева Олеся, Макарова Ксения, Мандрыкин Александр, Прилуцкий Руслан, Рыбакова Екатерина, Сапунов Максим, Селихова Татьяна и Яшина Екатерина, г. Нижний Новгород, МОУ “Агнес”, клуб “Космос”, педагог Занозин Д.А.;

— Валиев Наим и Кулахметов Рашид, средняя школа села Восточное Нижегородской обл., учитель Долгова Г.А.;

— Гайсина Галия, Республика Башкортостан, г. Уфа, школа № 18, учитель Искандарова А.Р.;

— Гончаренко Анастасия, Республика Карелия,
г. Сегежа, школа № 5, учитель Меньшиков В.В.;

— Деминцев Борис, средняя школа села Сердар, Республика Марий Эл, учитель Чернова Л.И.;

— Иванова Ирина, Касаткина Наталья, Тоцкая Екатерина и Холопова Кристина, г. Заозерный Красноярского края, гимназия № 2, учитель Владимирова Н.А.;

— Косинец Алина и Маслюк Алина, село Спасское Спасского р-на Приморского края, школа № 8, учитель Мирошник Л.В.;

— Лепехина Наталья, г. Астрахань, школа № 33
им. Н.А. Мордовиной, учитель Лепехина С.М.;

— Лутовинова Екатерина, Черных Вера и Ячевский Илья, г. Борисоглебск Воронежской обл., гимназия № 1, учитель Мячина С.А.

Большинство приславших ответы составили и использовали для решения таблицу сложения в четверичной системе счисления. Это же мы предлагаем сделать всем читателям, которые будут решать новые ребусы, предложенные в рубрике “«Ломаем» голову”.

В № 125 нашей газеты (“Информатика” № 7/2009) была описана игра “Король на шахматной доске”. Компьютерную программу, моделирующую эту игру, представили:

1) Ильин Егор, г. Томск, Сибирский лицей, учитель Филатова В.Н. (в качестве среды разработки использована CodeGear RAD Studio C++ Builder 5.0);

2) Кузнецов Денис и Сосновцев Илья, средняя школа села Ириновка, Новобурасский р-н Саратовской обл., учитель Брунов А.С. (их программы созданы в среде Visual Basic 5).

Редакция решила наградить Дениса, Егора и Илью дипломами. Поздравляем!

Судебное дело

Разбирается судебное дело Брауна, Смита и Джонса. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.

Браун: 1) “Я не делал этого”; 2) “Джонс не делал этого”.

Джонс: 1) “Браун не делал этого”; 2) “Это сделал Смит”.

Смит: 1) “Я не делал этого”; 2) “Это сделал Браун”.

В ходе судебного разбирательства было установлено, что один из них дважды солгал, другой — дважды сказал правду, третий — раз солгал, раз сказал правду. Кто совершил преступление? Какие заявления (правдивые или нет) сказал каждый?

Две задачи о часах

Задача 1

Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?

Задача 2

Некоторая работа была начата в пятом часу, а закончена в восьмом часу, причем показания часов в начале и в конце работы переводятся друг в друга, если поменять местами часовую и минутную стрелки.

Определите продолжительность работы.

Максимальное число двоек

Дано натуральное число n (8 n 200 000). Рассмотрим записи всех чисел m, не превышающих n, в системах счисления с основанием q от 3 до 16 (цифры, большие 9, как обычно, записываются буквами А, B, …, F). Запись какого максимального числа m_макс имеет наибольшее количество цифр 2? В какой системе это имеет место? Например, при n = 9 таким числом является 8, которое при q = 3 имеет в записи две двойки (22₃), при n = 10 и n = 11 — число 10 (22₄), при n = 75 — число 62 (222₅).

Ответ, пожалуйста, оформите в виде таблицы:

— где в первом столбце таблицы указано число или диапазон чисел.

Комментарий к выполнению

На первый взгляд кажется, что задача является очень трудоемкой, что в ней нужно переводить все числа из указанного диапазона в 14 различных систем счисления и каждый раз подсчитывать количество двоек. На самом деле это не так. Достаточно получить и проанализировать натуральные десятичные числа, состоящие из одних двоек в этих 14 системах:

Для получения приведенной только что таблички можно использовать электронную таблицу Microsoft Excel или разработать компьютерную программу.