Греческая алфавитная система счисления

Окончание. Начало см. “В мир информатики” № 133-134 (“Информатика” № 21-22/2009)

М.А. Цайгер,
кандидат технических наук

Теперь об умножении многозначных чисел в греческой системе счисления. Методика проведения этой процедуры всегда была неясным предметом. Рискну предположить, что метод умножения открыл Пифагор. Что общего между числами ? Не только греки времен Пифагора, но и люди нашего времени не увидят никакой связи между этими числами — хаотично разбросанные числовые элементы! И только гений Пифагора позволил увидеть в этом хаосе закономерность, которую сейчас увидит любой мало-мальски грамотный человек, если перевести эти числа в десятичную систему: они означают 42, 420 и 4200, т.е. в этой системе они различаются лишь порядком! Пифагор не только углядел эту закономерность в алфавитной записи чисел, но и воспользовался ею для реализации своего облегченного способа умножения чисел, который сейчас называют греческим способом умножения.

Прежде всего Пифагор, несомненно, видел, что три эннеяды (девятки числовой системы) образуют структуру, в которой возможны триады чисел типа т.е. последовательности типа (1, 10, 100), (2, 20, 200), ... Тип этих последовательностей был ему знаком — это, как говорят теперь, геометрические прогрессии со знаменателем 10. Первые члены этих последовательностей получили название пифменов (слово пифмен в переводе с греческого буквально означает база, основание). Член последовательности, следующий за пифменом (например, член , следующий за пифменом ), имеет первый порядок (т.е. порядок ), далее следует член последовательности () с вторым порядком (т.е. с порядком ) и т.д.

Чтобы показать, как геометрические прогрессии связаны с умножением, приведу цитату из статьи Д.Психойоса [1] (в моем переводе):

“«Правило Архимеда» является общим правилом и касается произведения двух чисел, которые являются членами геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, как, например, в прогрессии 1, 1 3, 1 3², 1 3³ ... Такого рода последовательность образована и членами десятичной системы (1, 1 10, 1  10², 1 10³ ...). Архимед доказал, что произведение двух членов такой последовательности принадлежит к той же последовательности и находится в позиции k = m + n – 1, где m и n являются позициями, которые занимают эти два члена. В случае десятичной системы доказательство простое: если мы имеем два числа А = 10^m, В = 10ⁿ, то 10^m, очевидно, занимает (m + 1)-ю позицию в последовательности, а 10ⁿ — позицию (n + 1), имея в виду, что единица занимает позицию 1. Следовательно, произведение А x В = 10^m 10ⁿ = 10^m+n занимает позицию m + n + 1 = (m + 1) + (n + 1) – 1, т.е. ту, которую диктует правило. В общем случае двух чисел десятичной системы C = c 10^m, D = d 10ⁿ мы имеем:

С В = (с 10^m) (d 10ⁿ) = (c d) (10^m 10ⁿ) = (c d) 10^m+n.

Или мы умножаем пифмены c и d и “переносим” результат в (m + n)-ю позицию, как в примере”. (конец цитаты)

От себя хочу добавить, что, вероятнее всего, Архимед лишь доказал математически то, что по своему наитию предложил Пифагор. Поэтому я приписываю именно Пифагору изобретение греческого способа умножения.

И далее Психойос пишет [1; с. 168]: “...для того чтобы умножить мы подсчитываем, на сколько шагов мы перемещаемся по лестнице эннеяд до пифмена каждого множителя и находим сумму этих шагов для обоих множителей; мы умножаем пифмены по таблице Пифагора для нахождения промежуточного произведения; затем мы перемещаем каждую цифру этого промежуточного результата на столько шагов, сколько составляет сумма, которую мы нашли первоначально”.

Суть идеи умножения по Пифагору в следующем: при умножении чисел, записанных буквами, надо:

1) найти пифмены и порядки множителей;

2) умножить их пифмены;

3) сложить порядки множителей и определить суммарный порядок;

4) каждый элемент результата умножения пифменов передвинуть в своей последовательности на вычисленный суммарный порядок, что даст искомое произведение.

Для реализации этого способа необходимо иметь:

1) таблицу умножения для пифменов (рис. 1):

Рис. 1. Таблица умножения (таблица Пифагора)

2) таблицу, которую я в статье [2] по подсказке Психойоса назвал “лестницей Пифагора” (рис. 2).

Надо сказать, что в лестнице Пифагора на рис. 2 использована еще одна применявшаяся в Греции система записи мириад (десятков тысяч), о которой я не упомянул в первой части статьи: сначала записывается заглавная буква M, затем количество мириад, а завершающая точка отделяет остальную часть числа, меньшую чем мириада. То есть число 754 321 записывалось как 75 мириад 4321, или. В дальнейшем мы будем применять именно эту систему, достаточно удобную для записи на компьютере.

В качестве примера произведем умножение числа (213) на (37). Схема умножения показана на рис. 3. Греки обычно начинали умножение с наивысших порядков. Сначала надо умножить элемент множителя во второй строке на все элементы множимого в первой строке, затем то же самое проделать со вторым элементом множителя .

Начинаем со старшего элемента множимого, буквы-цифры :

1) по лестнице Пифагора (рис. 2) определяем пифмен элемента как , а ступень — как , пифмен элемента — как , а ступень — как ;

2) произведение пифменов x определяем по таблице Пифагора (рис. 1) как равное , а сумму ступеней — как + = ;

3) возвращаемся к лестнице Пифагора, поднимаемся от пифмена на ступень и находим там значение . Это и есть произведение на .

Остальные промежуточные произведения определяем по той же схеме. Если результат умножения пифменов получился состоящим из двух элементов, то каждый элемент надо по отдельности поднять по лестнице Пифагора на сумму ступеней сомножителей. Как мы видим, способ Пифагора позволяет в алфавитной числовой системе получить результат умножения почти так же просто и легко, как в нашей современной десятичной системе.

Рис. 3. Умножение чисел способом Пифагора

Обратимся теперь к комментариям Евтокия Аскалонского (ок. 480 – ок. 540 гг. н.э.) произведений Архимеда. Евтокий приводит пример умножения, приведенный на рис. 4. Греческие числа записаны малыми (строчными) буквами. Умножение производится, начиная со старшей буквы множителя на старшую букву множимого, потом старшей буквы множителя на вторую по старшинству букву множимого и т.д. Но как Евтокий мог узнать, что произведение на  равно ? Вернитесь к объяснению в примере на рис. 3 и легко получите результат.

А как был получен результат умножения на , равный ,f?

Снова:

1) по лестнице Пифагора (рис. 2) определяем пифмен элемента как , а ступень — как ;

2) произведение пифменов определяем по таблице Пифагора (рис. 1) как равное , а сумму ступеней — как + = ;

3) возвращаемся к лестнице Пифагора, поднимаемся от на ступеней и находим там значение ;

4) опять по лестнице Пифагора поднимаемся от еще на ступеней и находим там значение . То есть, подняв на ступеней, получаем .

Своим комментарием Евтокий косвенно подтверждает, что в V веке н.э. он еще знал способ Пифагора!

Рис. 4. Пример умножения в греческой алфавитной числовой системе (из комментария Евтокия к трактату Архимеда “Измерение круга”). Справа показана запись чисел в современной десятичной системе

К сожалению, в последующем мир забыл, что такое способ Пифагора, забыл, как умножать в алфавитной системе с помощью таблицы Пифагора (http://www.numbernautics.ru/content/view/548/34/). Но это уже, как говорится, другая история…

Задания для самостоятельной работы

1. Умножьте следующие пары чисел, записанных в греческой алфавитной системе:

2. Умножьте следующие тройки чисел, записанных в греческой алфавитной системе. Здесь потребуется сложение промежуточных результатов умножения на абаке (см. вторую часть настоящей статьи):

Результаты расчетов пришлите в редакцию.

Литература

1. Psychoyos D.K. The forgotten art of isopsephy and the magic number KZ. / Semiotica, vol. 154, April 2005.

5. Цайгер М.А. Арифметика у древних славян и в допетровской России. / “ВИЕТ”, 2007, № 2.