Физические пределы вычислений

От редакции. Наши постоянные читатели знают, что изредка в нашей газете появляются перепечатки наиболее знаменитых, классических статей и работ в области информатики. “Физические пределы вычислений” мы хотели напечатать давно… лет пятнадцать. Но этой замечательной статье все как-то не находилось места с точки зрения композиции других материалов, слишком странно она смотрелась бы в газете, будучи напечатанной “просто так”. И тут такая удача! Статья была упомянута (абсолютно заслуженно) в последней лекции нашего курса повышения квалификации, как один из немногих источников информации по данной теме на русском языке. Конечно, мы не могли не воспользоваться возможностью. Надеемся, вы получите удовольствие от знакомства с этим прекрасным популярным материалом. Ведь даже 24 (!) года, прошедшие со времени его публикации, не сделали его “устаревшим”, хотя, конечно, технологии ушли вперед на парсеки! Но фундаментальные законы не по зубам даже технологиям!

Какие физические факторы ограничивают процесс вычисления? Существует ли предельный минимум энергии, необходимый, например, для выполнения одного логического шага? По-видимому, такого минимума не существует, однако есть другие вопросы, которые пока остаются открытыми.

Вычисление, независимо от того, выполняется оно электронными устройствами, на обычных счетах или биологической системой, такой, как мозг, — это физический процесс. К нему применимы те же понятия, что и к другим физическим процессам. Какое количество энергии необходимо, чтобы выполнить то или иное вычисление? Сколько времени потребуется на это? Каких размеров должно быть вычисляющее устройство? Другими словами, каковы физические ограничения, накладываемые на процесс вычисления?

Конечно, задавать эти вопросы гораздо легче, нежели отвечать на них. Ограничения, которыми мы интересуемся, так или иначе очень далеки от реальных ограничений, с которыми имеет дело современная техника. Поэтому мы не можем утверждать, что наши исследования помогают в работе инженеру или технологу. Эти исследования носят более теоретический характер. Наша цель — выявить общие законы, которым подчиняются все виды обработки информации, независимо от средств и методов этой обработки. Любые найденные нами ограничения должны быть основаны исключительно на фундаментальных физических принципах, а не на технологиях, используемых в настоящее время.

Подобный поиск фундаментальных ограничений уже имел прецеденты. В 40-х годах К.Шеннон, в то время сотрудник фирмы Bell Telephone Laboratories, установил, что существуют ограничения на количество информации, которое можно передать по каналу связи при наличии шума. Эти ограничения действуют независимо от того, каким образом кодируется сообщение. Работа Шеннона ознаменовала собой рождение современной теории информации. Еще раньше, в середине и конце прошлого столетия, физики, пытаясь определить фундаментальные ограничения на эффективность парового двигателя, создали науку, получившую название “термодинамика”. Приблизительно в 1960 г. Ландауэр (один из авторов данной статьи) совместно с Дж. Суонсоном, работая в фирме IBM, попытались применить анализ подобного рода к процессу вычисления. Начиная с середины 70-х годов к этим исследованиям стали подключаться все более многочисленные группы ученых из других организаций.

В нашем анализе физических ограничений на вычисления мы применяем термин “информация” в том смысле, в котором он определен в теории информации. Согласно этому определению, информация исчезает всякий раз, когда две ранее различавшиеся ситуации становятся неразличимыми. В физических системах, отличающихся отсутствием сил трения, информацию невозможно уничтожить, потому что при уничтожении информации некоторое количество энергии должно перейти в тепло. В качестве примера рассмотрим две легкоразличающиеся физические ситуации. В одной из них резиновый мячик поддерживается на высоте 1 м от пола, в другой — на высоте 2 м. Если мячик отпустить, он упадет и отскочит от пола вверх. При отсутствии трения и при условии, что мячик абсолютно упругий, наблюдатель всегда сумеет сказать, каким было исходное состояние мячика (в данном случае — на какой высоте он находился в начальный момент времени), поскольку мячик, упавший с высоты 2 м, отскочит выше, чем в случае, когда он падает с высоты 1 м.

Однако при наличии сил трения при каждом отскоке мячика от пола некоторое количество энергии будет рассеиваться, и в конце концов мячик перестанет отскакивать и останется лежать на полу. Тогда уже будет невозможно определить, каким было исходное состояние мячика: мячик, упавший с высоты 2 м, будет полностью идентичен мячику, упавшему с высоты 1 м. Информация утратится в результате диссипации энергии.

Обычные вычислительные устройства, счеты и микропроцессор в процессе работы рассеивают энергию. Рассеяние энергии логическими вентилями микропроцессора обусловлено исчезновением информации. Имеются и другие причины: электронные схемы микропроцессора потребляют энергию даже тогда, когда они просто хранят информацию, не обрабатывая ее. Счеты диссипативны из-за сил трения, которые нельзя устранить: в отсутствие статического трения “кости” меняли бы положение под действием случайного теплового движения молекул. Статическое трение представляет собой некую минимальную силу, которая не зависит от скорости перемещения “костей”, и поэтому счеты требуют некоторой минимальной энергии, как бы медленно они не работали.

Приведем другой пример исчезновения информации. Выражение “2 + 2” содержит больше информации, чем выражение “= 4”. Если нам известно лишь то, что число 4 было получено в результате сложения двух чисел, то мы не сможем определить, какие именно числа складывались: 1 + 3, 2 + 2, 0 + 4 или какая-нибудь другая пара чисел. Поскольку выходная информация содержится неявным образом уже во входной, можно считать, что никакое вычисление не порождает информации.

Обычные логические вентили рассеивают энергию потому, что отбрасывают ненужную информацию. Например, если на выходе вентиля И имеется 0, то мы не можем определить, что было на входах.

На самом деле вычисления, выполняемые на современных вычислительных машинах, проводятся при помощи многих операций, уничтожающих информацию. Так называемый “вентиль И” — это устройство с двумя входными линиями, на каждой из которых может быть установлен сигнал, равный 1 или 0, и одной выходной линией — значение ее сигнала определяется значениями входов. Если на обоих входах 1, то на выходе также будет 1. Если на одном или на обоих входах 0, то и на выходе будет 0. Всякий раз, когда на выходе вентиля 0, мы теряем информацию, потому что нам неизвестно, в каком из трех возможных состояний находились входные линии (0 и 1; 1 и 0 или 0 и 0). На самом деле в любом логическом вентиле, у которого количество входов превышает количество выходов, неизбежно происходит потеря информации, поскольку мы не можем определить состояние входов по состоянию выходов. Поэтому всякий раз, когда мы пользуемся подобным “логически необратимым” вентилем, мы рассеиваем энергию в окружающую среду. Стирание одного бита данных в памяти ЭВМ — другая часто используемая при вычислениях операция, которая также диссипативна по своей природе. При стирании одного бита данных мы теряем всю информацию о предшествовавшем состоянии этого бита.

Однако справедливо задать вопрос, является ли неизбежным использование необратимых логических вентилей и операции стирания при вычислениях? Если это так, то при любом производимом нами вычислении должно рассеиваться некоторое минимальное количество энергии.

Как показал Бенне (один из авторов этой статьи) в 1973 г., при вычислении можно обойтись как без необратимых логических элементов, так и без стирания информации. С тех пор справедливость этого положения была продемонстрирована на нескольких моделях. Проще всего описать модели, основанные на так называемых “обратимых логических элементах”, таких, как вентиль Фредкина, названный по имени Эдуарда Фредкина из Массачусетсского технологического института. У вентиля три входные и три выходные линии. Сигнал на одной входной линии, называемой “управляющим каналом”, не изменяется при прохождении через вентиль. Если сигнал на управляющем канале установлен равным 0, то входные сигналы на двух других линиях также проходят без изменения. Но если на управляющей линии 1, то на двух других выходных линиях происходит переключение: входной сигнал одной линии становится выходным другой, и наоборот. Вентиль Фредкина не теряет информации, поскольку состояние входов можно всегда определить по состоянию выходов.

Фредкин показал, что любое логическое устройство, необходимое для работы ЭВМ, может быть построено в виде соответствующей комбинации вентилей Фредкина. Чтобы выполнить вычисление, на определенных входных линиях некоторых вентилей должны быть предварительно установлены определенные значения (см. нижний рисунок слева).

Обратимый логический вентиль Фредкина может и не рассеивать энергию — состояние на его входах можно определить по состоянию выходов. У вентиля имеется “управляющая” линия, состояние которой не меняется вентилем. Если на управляющей линии 0, то значения сигнала на двух других линиях также не меняются, если же на управляющей линии 1, то вход линии А становится выходом линии S, и наоборот. С помощью обратимых вентилей, соединенных соответствующим образом, можно реализовать любую функцию, выполняемую обычным необратимым устройством. Чтобы реализовать операцию И (справа), один вход устанавливается равным 0 и два выходных бита, называемых “мусорными”, временно игнорируются. Когда вычисление завершено, эти биты используются при работе вентиля в обратном направлении, чтобы вернуть компьютер к исходному состоянию.

У вентилей Фредкина больше выходных линий, чем у тех, которые они моделируют. Поэтому в процессе вычислений образуются, казалось бы, “мусорные биты”, т.е. биты информации, не требующиеся для получения результата. Перед тем как начать другое вычисление, нужно каким-то образом очистить компьютер от этих битов. Но если мы сотрем их, то произойдет та самая диссипация энергии, которой мы хотели избежать.

В действительности эти биты играют очень важную роль. После того как мы получили результат вычисления и скопировали его из машины с обычных выходных линий, процесс следует запустить в обратном направлении. Другими словами, мы используем “мусорные биты” и выходные биты, полученные компьютером в ходе вычислений, в качестве “входа”, вводимого с “обратной стороны” машины. Это оказывается возможным, потому что каждый логический вентиль компьютера является обратимым. В процессе вычисления, выполняемого в обратном направлении, не происходит никакой потери информации, а потому нет нужды рассеивать энергию. В конце концов компьютер придет к состоянию, в котором он находился перед началом вычисления. Следовательно, можно завершить “цикл вычисления” — прогнать компьютер вперед и затем вернуться в исходное состояние, без какого-либо рассеяния энергии.

До сих пор мы говорили об абстрактных логических операциях, не касаясь физических устройств, осуществляющих эти операции. Однако нетрудно представить себе физическое устройство, работающее по принципу Фредкина. В таком устройстве каналы для передачи информации представляются в виде трубок. В свою очередь, бит информации представляется наличием или отсутствием шарика в определенной секции трубки. Присутствие шарика интерпретируется как 1, а отсутствие — как 0.

Управляющая линия представляется узким участком трубки, расщепленной посередине в продольном направлении. Когда шарик входит в расщепленную секцию трубки, он раздвигает ее боковые стенки, приводя таким образом в действие переключающее устройство. Это переключающее устройство направляет входные шарики, которые могут находиться в двух других трубках. Когда в управляющей трубке есть шарик, то любой шарик, приходящий по входной линии, автоматически переводится в другую трубку. Чтобы обеспечить выключение переключающего устройства при отсутствии шарика в управляющей трубке, расщепленные половинки последней прижимаются друг к другу пружинками. Когда шарик входит в управляющую трубку и сжимает пружинки, он должен затрачивать на это некоторое количество энергии. Однако эта энергия не теряется: она отдается обратно, когда управляющий шарик покидает расщепленную трубку и пружинки разжимаются.

Все шарики как бы связаны друг с другом и толкаются вперед одним механизмом, так что они движутся синхронно; в противном случае мы не могли бы обеспечить одновременного прибытия различных входных и управляющих шариков к логическому вентилю. В каком-то смысле процесс вычисления происходит подобно движению с одной степенью свободы, как, например, движение двух колес, жестко сидящих на одной оси. Когда вычисление завершено, мы толкаем все шарики в обратном направлении, ликвидируя все проведенные на пути вперед операции и возвращая компьютер в исходное состояние.

Если устройство целиком погрузить в идеальную вязкую жидкость, то силы трения, действующие на шарики, будут пропорциональны их скорости, статическое же трение будет отсутствовать. Поэтому, если нас устроит медленное движение шариков, сила трения будет очень мала. В любой механической системе работа по преодолению силы трения равна произведению силы трения на расстояние, пройденное телом. (Следовательно, чем быстрее пловец проплывет определенную дистанцию, тем больше энергии он затратит, несмотря на то что расстояние остается одним и тем же независимо от скорости пловца.) Если шарики проходят через вентили Фредкина на малой скорости, то совершаемая при движении работа (произведение силы на расстояние) будет очень малой, так как сила трения прямо пропорциональна скорости шарика. На самом деле мы можем затрачивать сколь угодно мало энергии, просто за счет соответствующего замедления процесса вычисления. Таким образом, мы приходим к выводу, что не существует минимального необходимого количества энергии, которую требуется затратить, чтобы выполнить любое заданное вычисление.

Идеализированная физическая модель вентиля Фредкина: трубки играют роль проводников, а присутствие или отсутствие шарика интерпретируется как 1 или 0. Узкий расщепленный участок трубки — это управляющий канал. Когда в него попадает шарик, стенки трубки расходятся в стороны, приводя в действие переключающий механизм. Последний, в свою очередь, переводит любой прибывший шарик из линии А в линию В и наоборот. Две пружинки поддерживают управляющий канал выключенным, когда в нем нет шарика. Такой вентиль не требует статического трения для выполнения операций. Его можно погрузить в вязкую жидкость, и тогда силы трения будут зависеть лишь от скорости шариков. В этом случае рассеиваемая энергия может быть произвольно малой: чтобы уменьшить количество рассеиваемой энергии, нужно лишь уменьшить скорость прохождения шариков через вентиль.

В рассмотренной модели вычислительного устройства энергия, теряемая на трение, будет очень мала, если это устройство действует достаточно медленно. Можно ли построить модель еще более идеализированной машины, которая могла бы вычислять без всякого трения? Или же трение является необходимым атрибутом вычислительного процесса? Фредкин вместе с Т.Тоффоли и другими специалистами из МТИ показали, что трение не является необходимым.

Они продемонстрировали это на модели вычислительного устройства, в котором вычисления проводятся путем выстреливания навстречу друг другу идеальных бильярдных шаров в отсутствие сил трения. В бильярдной модели идеально отражающие “зеркала” — поверхности, меняющие направление движения шаров, расположены таким образом, что движение шаров по столу моделирует прохождение битов информации через логические вентили (см. рисунок). Как и раньше, присутствие шара в определенной части “компьютера” интерпретируется как 1, а отсутствие — как 0. Если два шара одновременно достигают логического вентиля, то они сталкиваются, и траектории их движения изменяются; новые траектории представляют при этом выходные данные вентиля. Фредкин, Тоффоли и другие разработали схемы расположения зеркал, соответствующие различным типам логических вентилей, и доказали, что можно построить бильярдную модель любого логического элемента, необходимого для вычислений.

Бильярдная модель компьютера: движение бильярдных шаров по поверхности стола моделирует прохождение битов информации через логический вентиль. В бильярдных логических вентилях (слева) траектории шаров изменяются при их столкновениях друг с другом или с “зеркалами”. Кроме функций, выполняемых ими в вентилях, зеркала могут менять угол траектории шара (а), сдвигать ее в сторону (b), задерживать шар, не меняя его конечного направления или скорости (с), или заставлять траектории пересекаться (d). Зеркала можно расставить таким образом, чтобы получившийся в результате “компьютер” выполнял функции любого логического устройства. Например, можно построить бильярдный компьютер для распознавания простых чисел. Такой компьютер (справа) на входе принимает произвольное пятизначное двоичное число (в данном случае 01101, или 13) и фиксированную входную последовательность 01. Как и вентиль Фредкина, бильярдный компьютер возвращает больше битов на выходе, чем нужно пользователю. В рассматриваемом случае он возвращает само исходное число (представляющее собой “лишний” выход) и “ответ”: последовательность 10, если число на входе простое, и 01, если оно составное.

Чтобы начать процесс вычисления, мы выстреливаем бильярдным шаром по входу компьютера, если нужно ввести единицу. Шары должны входить в машину одновременно. Поскольку шары абсолютно упругие, они не теряют энергии при столкновении друг с другом. Они выйдут из машины, обладая тем же количеством кинетической энергии, с которым вошли в нее.

В процессе работы бильярдный компьютер порождает “мусорные биты”, как и компьютер, построенный на вентилях Фредкина. После того как компьютер завершил выполнение задачи, мы отражаем бильярдные шары в обратном направлении, обращая процесс вычисления вспять. Шары выйдут из машины в точности там же, откуда мы их направили в машину, и при этом будут двигаться с той же скоростью. Таким образом, механизм, запустивший шары в машину, может получить теперь обратно их кинетическую энергию. И в этом случае, выполнив вычисление, мы можем вернуть компьютер в исходное состояние, не рассеивая энергии.

У бильярдного компьютера есть один существенный недостаток: он чрезвычайно чувствителен к малейшим неточностям. Если шар послан с небольшим отклонением от правильного направления или зеркало повернуто под углом, слегка отличающимся от расчетного, шары сойдут с нужных траекторий. Один или больше шаров отклонятся от расчетного пути, и через какое-то время совместный эффект этих ошибок нарушит весь процесс вычисления. Даже если можно было бы изготовить абсолютно упругие, лишенные трения шары, случайное тепловое движение молекул, из которых состоят шары, может оказаться достаточным для того, чтобы после нескольких десятков столкновений возникли ошибки.

Конечно, можно было бы установить корректирующую аппаратуру, которая возвращала бы неправильно движущийся шар на нужную траекторию, но в этом случае пришлось бы уничтожать информацию о предшествующих состояниях шара. Например, потребовалось бы уничтожить информацию, касающуюся величины отклонения зеркала от правильного положения. Однако избавиться от информации даже для того, чтобы исправить ошибку, можно только в системе, в которой существуют силы трения и возможна потеря энергии. Поэтому корректирующая аппаратура должна рассеивать некоторое количество энергии.

Многих трудностей, с которыми приходится сталкиваться при использовании бильярдной модели компьютера, можно было бы избежать или, во всяком случае, уменьшить их, если вместо бильярдных шаров воспользоваться субмикроскопическими частицами, такими, например, как электроны. Как указал У.Зурек из Национальной лаборатории в Лос-Аламосе, благодаря законам квантовой механики, накладывающим ограничения на состояние элементарных частиц, возможность небольших отклонений в движении частиц может быть устранена.

Хотя до сих пор наши рассуждения основывались главным образом на классической динамике, несколько исследователей предложили другие модели обратимых вычислительных машин, основанных на принципах квантовой механики. Такие машины, впервые предложенные П.Бениоффом из Национальной лаборатории в Аргонне (Франция) и усовершенствованные другими, в особенности Р.Фейнманом из Калифорнийского технологического института, до сих пор были описаны лишь в самых общих выражениях. По существу, частицы в этих моделях компьютеров должны быть расположены таким образом, чтобы правила квантовой механики, управляющие их взаимодействием, были в точности аналогичны правилам, предсказывающим значения сигналов на выходах обратимых логических вентилей. Предположим, например, что спин частицы может иметь только два возможных значения: направление вверх (соответствующее двоичной 1) и вниз (соответствующее 0). Взаимодействие между значениями спинов частиц должно проходить таким образом, чтобы значение спина данной частицы изменялось в зависимости от спина частиц, находящихся поблизости. При этом спин частицы будет соответствовать одному из выходов логического вентиля.

Выше мы говорили в основном об обработке информации. Но компьютер должен не только обрабатывать данные, но и запоминать их. Взаимодействие между хранением и обработкой информации, пожалуй, лучше всего можно описать на примере устройства, называемого “машиной Тьюринга” (по имени Алана М. Тьюринга, первого, кто предложил такую машину в 1936 г.). Машина Тьюринга может произвести любое вычисление, выполняемое современной ЭВМ. Ш.Бенне (один из авторов этой статьи) доказал возможность построения машины Тьюринга, т.е. такой, которая не теряет информации и, следовательно, в процессе работы может затрачивать любое заранее заданное малое количество энергии.

Машина Тьюринга способна выполнить любое вычисление, которое может выполнить ЭВМ. Бесконечно длинная лента поделена на дискретные сегменты, в каждом из которых записан 0 или 1. “Головка для считывания и записи”, которая может находиться в любом из нескольких внутренних состояний (здесь только два состояния: А и В), перемещается вдоль ленты. Каждый цикл начинается с того, что головка считывает один бит с сегмента ленты. Затем, в соответствии с фиксированным набором правил перехода, она записывает в сегмент ленты бит данных, изменяет свое внутреннее состояние и перемещается на одну позицию влево или вправо. Поскольку данная машина Тьюринга обладает всего двумя внутренними состояниями, ее возможности ограничиваются лишь тривиальными вычислениями. Более сложные машины с большим числом состояний способны смоделировать поведение любой ЭВМ, в том числе и значительно более сложной, чем они сами. Это оказывается возможным благодаря тому, что они хранят полное представление логического состояния большей машины на бесконечной ленте и разбивают каждый вычислительный цикл на большое количество простых шагов. Показанная здесь машина логически обратима: мы всегда можем определить предшествующие состояния машины. Машины Тьюринга, обладающие другими правилами перехода, могут и не быть логически обратимыми.

Машина Тьюринга состоит из нескольких компонентов. Один из них — лента, поделенная на отдельные участки или сегменты, в каждом из которых записаны 0 или 1, представляющие собой входные данные. “Головка для считывания и записи” движется вдоль ленты. Головка может выполнять несколько функций — считать с ленты один бит данных, записать один бит на ленту и переместиться на один сегмент влево или вправо. Чтобы на следующем цикле сохранять информацию о том, что делалось на предыдущем, у механизма головки имеется ряд так называемых “состояний”. Каждое состояние представляет собой свою, несколько отличную от других конфигурацию внутренних частей головки.

На каждом цикле головка считывает бит с того сегмента ленты, напротив которого она в данный момент находится. Затем она записывает новое значение бита на ленту, изменяет свое внутреннее состояние и перемещается на один сегмент влево или вправо. Значение бита, который она записывает, состояние, к которому она переходит, и направление, в котором она перемещается, определяются фиксированным набором правил перехода. Каждое правило описывает определенные действия. Какому правилу следует машина в данный момент, определяется состоянием головки и значением бита, только что прочитанного с ленты. Например, правило может быть следующим: “Если головка находится в состоянии А и расположена напротив сегмента, в котором записан 0, то она должна изменить значение этого бита на 1, перейти к состоянию В и переместиться на один сегмент вправо”. Согласно какому-нибудь другому правилу, машина не должна менять своего состояния или не записывать нового бита на ленту, или же должна остановиться. Не все машины Тьюринга обратимы, но можно построить такую обратимую машину Тьюринга, которая способна выполнить любое вычисление.

Модели, основанные на обратимой машине Тьюринга, имеют преимущество над такими машинами, как бильярдный компьютер, в котором отсутствует трение. В бильярдном компьютере случайное тепловое движение молекул приводит к неизбежным ошибкам. Обратимые машины Тьюринга на самом деле используют случайное тепловое движение: они построены таким образом, что именно тепловое движение при содействии слабой вынуждающей силы переводит машину из одного состояния в другое. Развитие вычислительного процесса напоминает движение иона (заряженной частицы) в растворе, находящемся в слабом электрическом поле. Если наблюдать за поведением иона в течение короткого периода времени, то оно покажется случайным: вероятность движения в одном направлении почти такая же, как и в другом. Однако вынуждающая сила, обусловленная действием электрического поля, придает движению предпочтительное направление. Вероятность того, что ион будет двигаться в этом направлении, несколько больше. На первый взгляд может показаться невероятным, что целенаправленная последовательность операций, свойственная процессу вычисления, может быть реализована аппаратом, направление движения которого в любой момент времени можно считать почти случайным. Однако такой характер действий очень распространен в природе. Его, в частности, можно наблюдать в микроскопическом мире химических реакций. Происходящее по методу проб и ошибок броуновское движение, или случайное тепловое движение, оказывается достаточно эффективным, чтобы реагирующие молекулы вступили в контакт, расположились должным образом относительно друг друга, как этого требует данная реакция, и образовались новые молекулы, представляющие собой продукты реакции. В принципе все химические реакции обратимы: то же броуновское движение, которое обеспечивает выполнение реакции в прямом направлении, иногда заставляет продукты реакции пройти через обратный переход. В состоянии равновесия обратное направление реакции так же вероятно, как и прямое. Чтобы заставить реакцию идти в прямом направлении, нужно постоянно добавлять молекулы, вступающие в реакцию, и удалять молекулы — продукты реакции. Другими словами, мы должны приложить небольшую вынуждающую силу. Когда эта сила очень мала, реакция будет происходить в прямом и обратном направлениях, но в среднем она будет идти в прямом направлении. Чтобы обеспечить наличие вынуждающей силы, мы должны затрачивать энергию, однако, как и в модели вентиля Фредкина из трубок и шариков, количество энергии может быть произвольно малым. Если нас устраивает очень медленное выполнение операций, то не существует минимального необходимого количества энергии, которую нужно затратить на эти операции. Объяснение заключается в том, что полное количество рассеиваемой энергии зависит от числа шагов в прямом направлении, деленного на число шагов в обратном. (На самом деле оно пропорционально логарифму этого отношения; когда само отношение увеличивается или уменьшается, его логарифм изменяется в ту же сторону.) Чем медленнее реакция проходит в прямом направлении, тем меньше будет отношение. (Здесь опять уместна аналогия с быстрым и медленным пловцами: если реакция проходит медленнее, полное количество затрачиваемой энергии будет меньше, несмотря на то что число промежуточных распадов и соединений остается тем же.)

РНК-полимераза — фермент, действующий как обратимая машина для копирования ленты. Она является катализатором реакции синтеза РНК, являющейся копией ДНК. Продвигаясь вдоль цепи ДНК, фермент выбирает из окружающего раствора молекулу нуклеозидтрифосфата (каждый нуклеозидтрифосфат состоит из какого-либо основания РНК, молекулы сахара и трех фосфатных групп), основание которого комплементарно тому основанию ДНК, которое в данный момент должно быть скопировано. Он прикрепляет новое основание к концу строящейся цепи РНК и высвобождает пирофосфат-ион. Реакция обратима: иногда фермент присоединяет к последнему звену РНК пирофосфат (образующийся нуклеозидтрифосфат возвращается в раствор) и отодвигается на одну позицию назад вдоль цепи ДНК. Когда реакция близка к состоянию химического равновесия, фермент совершает почти столько же шагов назад, сколько вперед, и полная энергия, требующаяся для копирования одного сегмента ДНК, очень мала. Диссипация энергии тем меньше, чем медленнее протекает реакция. Поэтому не существует какого-либо минимума энергии, необходимого для того, чтобы скопировать сегмент ДНК.

ПОСМОТРИМ, как работает броуновская машина Тьюринга на примере броуновской машины для копирования ленты. Такая машина уже существует в природе. Это РНК-полимераза — фермент, участвующий в процессе синтеза РНК, являющейся копией ДНК, из которой состоят гены. Одноцепочечная ДНК во многом напоминает ленту машины Тьюринга. В каждом ее элементе, т.е. в каждой позиции вдоль цепи, находится один из четырех нуклеотидов, или оснований: аденин, гуанин, цитозин или тимин (сокращенно A, G, С, Т). Структура РНК очень сходна с ДНК. Это так же длинная цепеобразная молекула, состоящая из оснований четырех типов — аденина, гуанина, цитозина и урацила (соответственно A, G, С и U). Основания РНК способны связываться с комплементарными им основаниями ДНК.

РНК-полимераза катализирует процесс образования на ДНК ее комплементарной копии — РНК. Обычно закрученная в спираль двойная цепь ДНК окружена раствором, содержащим большое количество молекул рибонуклеозидтрифосфатов, каждая из которых состоит из соединенных последовательно рибонуклеотида (основания РНК), сахара и хвоста из трех фосфатных групп. РНК-полимераза выбирает из раствора одно из оснований РНК, комплементарное тому основанию, которое в данный момент должно быть скопировано с цепи ДНК, и прикрепляет его к концу растущей цепи РНК, высвобождая два фосфата в окружающий раствор в виде пирофосфат-иона. Далее фермент перемещается вперед на одну позицию вдоль цепи ДНК, подготавливаясь к тому, чтобы присоединить следующее основание к цепи РНК. В результате образуется цепь РНК, комплементарная к матрице — цепи ДНК. Без РНК-полимеразы эти реакции протекали бы очень медленно и не было бы гарантии, что образующаяся РНК точно комплементарна ДНК.

Описанные реакции обратимы: иногда фермент присоединяет к последнему основанию растущей цепи РНК свободный ион пирофосфата и в окружающую среду высвобождается молекула рибонуклеозидтрифосфата, а сам фермент возвращается на одну позицию назад вдоль цепи ДНК. В состоянии равновесия шаги в прямом и обратном направлениях происходят с одинаковой частотой, но в живой клетке другие процессы метаболизма сдвигают равновесие в сторону прямой реакции за счет удаления пирофосфата и создания избытка рибонуклеозидтрифосфатов. В лабораторных условиях можно регулировать скорость РНК-полимеразной реакции, варьируя концентрации исходных реагентов (это доказали Дж. Левин и М.Чемберлен из Калифорнийского университета в Беркли). По мере того как концентрации приближаются к равновесным, фермент работает все медленнее, и при копировании данного участка ДНК рассеивается все меньше энергии, поскольку отношение числа шагов в прямом и обратном направлениях становится меньше.

РНК-полимераза просто копирует информацию, не обрабатывая ее, нетрудно представить себе, как могла бы работать гипотетическая химическая машина Тьюринга. Лента представляет собой одну длинную скелетную молекулу, к которой через равные промежутки прикрепляются основания двух типов, интерпретируемые как биты 0 и 1. Еще одна небольшая молекула прикреплена к одной из позиций в цепи нулей и единиц. Позиция, к которой прикреплена эта молекула, — не что иное, как сегмент ленты, на котором находится головка машины Тьюринга. Имеется несколько различных типов “молекулы-головки”. Каждый тип представляет одно из возможных внутренних состояний машины.

Правила перехода машины представлены ферментами. Каждый фермент является катализатором определенной реакции. Чтобы лучше понять, как работают эти ферменты, рассмотрим пример.

Предположим, что молекула-головка относится к типу А (это означает, что машина находится в состоянии А) и прикреплена к нулевому основанию. Предположим также, что действует следующее правило перехода: “Когда головка находится в состоянии А и считывает 0, заменить 0 на 1, перейти к состоянию В и переместиться вправо”. Молекула фермента, представляющего это правило, имеет место, подходящее для прикрепления молекулы-головки типа А, связанной с основанием 1. Она имеет также место, подходящее для прикрепления основания 0, и место, подходящее для головки типа В (см. рисунок).

Чтобы осуществить требуемый переход, молекула фермента сначала приближается к позиции на ленте, находящейся непосредственно справа от основания, к которому в данный момент прикреплена головка типа А. Затем она отделяет от ленты и молекулу-головку, и основание 0, к которому головка прикреплена, и помещает на их место основание 1. Затем она прикрепляет головку типа В к основанию, находящемуся справа от единичного основания, только что прикрепленного к ленте. На этом переход завершается. На исходном сегменте ленты 0 был заменен на 1, молекула-головка относится теперь к типу В и прикреп­лена к основанию, находящемуся на одну позицию правее исходной.

Гипотетическая ферментная машина Тьюринга может выполнить вычисление с произвольно малой затратой энергии. Молекулы, представляющие биты 0 и 1, прикрепляются к скелетной молекуле. Молекула, представляющая головку машины Тьюринга, присоединена к одной из позиций в цепи (7). Различные типы молекул-головок представляют разные состояния машины. Правила перехода представлены ферментами. На каждом цикле фермент соединяется с головкой и молекулой-битом, связанной с головкой (2), отделяет их от цепи, помещает на их место нужную молекулу-бит (3). Делая это, он вращается, прикрепляя соответствующую молекулу-головку к следующему биту справа или слева от только что измененного. Теперь цикл завершен (4): значение бита изменено, головка изменила состояние и переместилась. Реакции, подобные синтезу РНК, могут рассеивать произвольно малое количество энергии.

Броуновская машина Тьюринга — часовой механизм, состоящий из жестких гладких деталей, неплотно прилегающих друг к другу и поддерживаемых в нужном положении не трением, а системой пазов и зубцов. Несмотря на свободное соединение деталей, они могут совершать только такое крупномасштабное движение, которое соответствует шагу вычислений в прямом или обратном направлении, другими словами, они могут следовать только по одному “вычислительному пути”. Механизм слегка подталкивается очень слабой внешней силой, так что вероятность движения вперед почти такая же, как и назад. Однако в среднем машина будет двигаться вперед и вычисление в конце концов будет завершено. Можно заставить машину затрачивать произвольно малое количество энергии за счет соответствующего уменьшения вынуждающей силы.

Сегменты ленты представлены дисками с канавками, а биты — Е-образными блоками, которые прикрепляются к диску либо в верхнем (7), либо в нижнем (0) положении. Головка состоит из жестких деталей, соединенных в сложный механизм (большая часть которого здесь не показана). К нему подвешены читающий элемент, манипулятор и стержень, имеющий форму отвертки. Машина управляется валиком с нанесенными на его поверхность канавками наподобие валика для проигрывания записей на фонографе (слева вверху, справа в глубине). Различные канавки соответствуют разным состояниям головки.

В начале цикла головка расположена над одним из дисков, и “игла” находится в сегменте “считывания” канавки управляющего валика, соответствующей текущему состоянию головки машины. Во время фазы “считывания” цикла (7) читающий элемент определяет, как повернут блок, представляющий бит, вверх или вниз, выполняя процедуру “считывания по препятствию” (в центре справа). Считывающий элемент проходит вдоль блока по верхнему или нижнему пути. На одном из этих путей он должен встретить препятствие в виде выступа на конце блока, поэтому возможным остается только один путь. В точке управляющего валика, соответствующей этому “решению”, канавки разветвляются, и игла направляется в канавку, соответствующую значению бита (2). Затем управляющий валик поворачивается, пока игла не достигнет сегмента “записи” (3). Здесь каждая канавка содержит свой набор “инструкций”, которые передаются машине при помощи замысловатой связи между иглой и остальным механизмом.

Если инструкция требует изменить значение бита, манипулятор приводится в действие и зацепляет за выступ блока, затем отвертка поворачивает диск, пока блок не освободится, манипулятор поворачивает блок вверх или вниз, а отвертка опять поворачивает диск, так что блок занимает свое место. Пройдя сегмент “записи” управляющего валика, игла входит в сегмент “сдвига” (4). Каждая канавка этого сегмента содержит инструкцию перемещения головки на одну позицию влево или вправо. Далее игла входит в сегмент “изменения состояния” (5), где канавки сливаются таким образом, что игла попадает в канавку, представляющую следующее состояние головки. Теперь цикл завершен (6). Диски, соседние со считываемым в данный момент, удерживаются в нужном положении головкой. Диски, отстоящие дальше, заперты на специальный “замок”. Замок каждого диска связан со специальным битом, называемым Q-битом, соседнего диска. Устройство этой связи таково, что диск, читаемый в данный момент, освобожден и его можно двигать, в то время как диски, удаленные от него как слева, так и справа, поддерживаются в неподвижном состоянии.

 

Для того чтобы броуновская машина Тьюринга работала, лента должна быть погружена в раствор, содержащий много молекул ферментов, а также достаточные запасы “нулей”, “единиц” и “головок” типа А и В. Чтобы реакция проходила в прямом направлении, необходима какая-то другая реакция, которая очищала бы молекулы ферментов от головок и оснований, отделенных от ленты. Концентрации веществ, очищающих молекулы ферментов, представляют собой вынуждающую силу, которая заставляет машину Тьюринга работать в прямом направлении. И опять мы можем затрачивать сколь угодно малое количество энергии, если машина будет выполнять операции достаточно медленно.

Машина Тьюринга на основе ферментов не будет свободна от ошибок. Время от времени могут происходить реакции, протекающие без катализа ферментами. Например, основание 0 может спонтанно отделиться от скелетной молекулы, а основание 1 — занять его место. На самом деле подобные ошибки действительно возникают в процессе синтеза РНК.

В принципе можно было бы избавиться от этих ошибок, построив броуновскую машину Тьюринга на основе жесткого, абсолютно гладкого часового механизма. Такая машина Тьюринга является менее идеализированной моделью, чем бильярдный компьютер, но более идеализированной, чем ферментная машина. С одной стороны, ее детали не требуют абсолютно точной обработки, как это необходимо для бильярдных шаров, детали часового механизма могут иметь некоторые допуски и машина может работать даже в присутствии значительного теплового шума. И все же машина должна быть абсолютно жесткой и свободной от статического трения, а этими качествами не обладает ни одно макроскопическое тело.

Поскольку детали машины прилегают друг к другу неплотно, они удерживаются в нужном положении не трением, а с помощью системы канавок — пазов и зубцов (см. рисунок). Хотя каждая деталь машины имеет небольшой свободный ход, подобно изрядно потертым фишкам деревянной головоломки, в целом механизм может следовать только по одному “вычислительному пути”. Другими словами, детали сцеплены друг с другом таким образом, что в любой момент времени машина может совершать лишь два типа крупномасштабного движения: движение, соответствующее шагу вычислений в прямом направлении, и движение в обратном направлении.

Компьютер совершает переходы между этими двумя типами движения только в результате случайного теплового движения своих частей, обусловленного влиянием слабой внешней силы. Вероятность движения в обратном направлении, ликвидирующего результаты последней операции, почти такая же, как и вероятность движения в прямом направлении. Небольшая сила, приложенная снаружи, подталкивает вычисления вперед. И опять эту силу можно сделать сколь угодно малой; и, следовательно, не существует какого-либо минимума энергии, которую необходимо затрачивать, чтобы обеспечить функционирование машины Тьюринга на основе часового механизма.

Таким образом, по соображениям классической термодинамики необходимого минимума энергии для проведения вычислений не существует. Не вступает ли в таком случае термодинамический анализ в противоречие с квантовой механикой? Ведь, согласно квантовомеханическому принципу неопределенности, должна существовать обратная зависимость между степенью неопределенности относительно того, сколько времени длится процесс, и степенью неопределенности относительно количества затрачиваемой при этом энергии. Некоторые исследователи считают поэтому, что в любом процессе с переключением, протекающим за очень короткий промежуток времени, должна быть затрачена некоторая минимальная энергия.

В действительности принцип неопределенности вовсе не требует какого-то конечного минимума энергии для быстрого переключательного события. Принцип неопределенности был бы применим лишь в том случае, если бы мы попытались измерить точный момент времени, когда произошло событие. Даже по законам квантовой механики чрезвычайно быстрые события могут происходить без всякой потери энергии. Наша уверенность в том, что квантовая механика позволяет проводить вычисления со сколь угодно малой затратой энергии, находит подтверждение в моделях обратимых квантовомеханических вычислительных машин, разработанных Бениоффом с коллегами. Эти модели не рассеивают энергию и подчиняются законам квантовой механики.

Таким образом, принцип неопределенности, по-видимому, не накладывает фундаментальных ограничений на процесс вычисления. Не накладывает их также классическая термодинамика. Означает ли это, что у вычислений нет вообще никаких физических ограничений? Нет, это далеко не так. Реальные ограничения связаны с вопросами, на которые значительно труднее ответить, чем на те, которые мы поставили и рассмотрели в настоящей статье. Например, тре­буют ли элементарные логические операции некоторого минимального конечного времени? Каковы минимальные размеры устройства, способного выполнить такие операции? Поскольку масштабы размера и времени связаны с конечной скоростью света, то, по-видимому, ответы на эти вопросы каким-то образом взаимосвязаны. Однако мы не сможем найти эти ответы, во всяком случае, пока не решится вопрос о том, существует ли какая-то элементарная дискретность в универсальной шкале длины и времени.

На другом полюсе проблемы находится вопрос о том, насколько большой мы можем сделать память компьютера. Как много частиц во Вселенной мы сможем собрать и соединить для этих целей? Дело в том, что максимальный возможный размер памяти компьютера накладывает ограничение на точность, с которой можно проводить вычисления. Например, будет ограничено количество десятичных знаков в вычисленном значении числа p. Другой, возможно связанный с последним, вопрос касается неизбежных процессов разрушения, протекающих в реальных вычислительных машинах по мере того, как они стареют. Возможно ли снизить скорость процесса разрушения и накопления ошибок до произвольно малых величин, или же эта скорость накладывает ограничение на максимальную продолжительность вычисления? Другими словами, существуют ли такие вычислительные задачи, которые невозможно будет завершить до того, как материальная часть компьютера придет в негодность?

На самом деле подобные вопросы касаются ограничений на физическое выполнение математических операций. Физические законы, на которых должны в конечном счете базироваться ответы, сами выражаются при помощи таких математических операций. Таким образом, мы задаемся вопросом о том, в какой форме могут применяться физические законы при ограничениях, накладываемых свойствами Вселенной, которые сами, в свою очередь, описываются этими законами.